1. Sea \theta un número real. Demuestre que \left(\begin{array}{rr}\cos \theta & \operatorname{sen} \theta \\\\ -\operatorname{sen} \theta & \cos \theta\end{array}\right) es invertible y encuentre su inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
e pede para mostrar que ela é invertível e achar A^{-1}. Para isso, vamos calcular o determinante de A e usar a fórmula de inversa para matrizes 2\times2.

Passo 2

Calculamos o determinante de A. Sejam a=\cos\theta, b=\sin\theta, c=-\sin\theta e d=\cos\theta. Então
\det(A)=ad - bc = \cos\theta\cdot\cos\theta - (\sin\theta)\cdot(-\sin\theta) =\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.

Passo 3

Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que A é invertível.

Passo 4

Usamos a fórmula de inversa para matrizes 2\times2: se
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
então
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando aos valores de A, com ad-bc=1, obtemos
A^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

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