Sejam \beta=\{(1,0),(0,2)\}, \beta_{2}=\{(-1,0),(1,1)\} e \beta_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}.
(a) Ache as matrizes de mudança de base:
(i) [I]_{\beta}^{\beta_{2}}
(ii) [I]_{\beta_{2}}^{\beta}
(iii) [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}
(iv) [I]_{\beta_{3}}^{\beta}
(b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação à base \beta ?
(c) As coordenadas de um vetor v em relação à base \beta são dadas por:
Quais são as coordenadas de v em relação à base \beta_{2} ?
Passo 1
O enunciado dá três bases ordenadas de \mathbb{R}^2: \beta=\{(1,0),(0,2)\}, \beta_{2}=\{(-1,0),(1,1)\} e \beta_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\}.
Precisamos achar as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta_{2}}, [I]_{\beta_{2}}^{\beta}, [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}} e [I]_{\beta_{3}}^{\beta},
além de coordenadas de vetores nessas bases. Para isso vamos expressar vetores de uma base como combinação linear dos vetores da outra base e montar as matrizes cujas colunas são essas coordenadas.
Passo 2
Para [I]_{\beta}^{\beta_{2}}\) tomamos cada vetor de \(\beta\) e escrevemos em \(\beta_{2}\).
(1) \((1,0)=a(-1,0)+b(1,1)\)
\[(-a+b,\;b)=(1,0)\implies \begin{cases} b - a = 1,\\\ b = 0, \end{cases}
logo a=-1,\\ b=0\].
(2) \[(0,2)=a(-1,0)+b(1,1)
(-a+b,\;b)=(0,2)\implies \begin{cases} b - a = 0,\\\ b = 2, \end{cases}
[I]_{\beta_{2}}^{\beta} é simplesmente a inversa de [I]_{\beta}^{\beta_{2}} ou podemos refazer o mesmo processo: expressar cada vetor de \beta_{2} em \beta.
(1) (-1,0)=x(1,0)+y(0,2) dá x=-1,\\ y=0.
(2) (1,1)=x(1,0)+y(0,2) dá x=1,\\\ 2y=1\implies y=\tfrac12.
Logo
Para [I]_{\beta_{3}}^{\beta} escrevemos cada vetor de \beta_{3} em \beta.
(1) (-1,-1)=x(1,0)+y(0,2) dá x=-1,\\\ 2y=-1\implies y=-\tfrac12.
(2) (0,-1)=x(1,0)+y(0,2) dá x=0,\\\ 2y=-1\implies y=-\tfrac12.
Logo