Sejam \beta=\{(1,0),(0,2)\}, \beta_{2}=\{(-1,0),(1,1)\} e \beta_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}.
(a) Ache as matrizes de mudança de base:
(i) [I]_{\beta}^{\beta_{2}}
(ii) [I]_{\beta_{2}}^{\beta}
(iii) [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}}
(iv) [I]_{\beta_{3}}^{\beta}
(b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação à base \beta ?
(c) As coordenadas de um vetor v em relação à base \beta são dadas por:
[v]_{\beta}=\left[\begin{array}{l} 4 \\\\ 0 \end{array}\right]
Quais são as coordenadas de v em relação à base \beta_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá três bases ordenadas de \mathbb{R}^2: \beta=\{(1,0),(0,2)\}, \beta_{2}=\{(-1,0),(1,1)\} e \beta_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\}.
Precisamos achar as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta_{2}}, [I]_{\beta_{2}}^{\beta}, [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}} e [I]_{\beta_{3}}^{\beta},
além de coordenadas de vetores nessas bases. Para isso vamos expressar vetores de uma base como combinação linear dos vetores da outra base e montar as matrizes cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 2

Para [I]_{\beta}^{\beta_{2}}\) tomamos cada vetor de \(\beta\) e escrevemos em \(\beta_{2}\). (1) \((1,0)=a(-1,0)+b(1,1)\) \[(-a+b,\;b)=(1,0)\implies \begin{cases} b - a = 1,\\\ b = 0, \end{cases}
logo a=-1,\\ b=0\]. (2) \[(0,2)=a(-1,0)+b(1,1)
(-a+b,\;b)=(0,2)\implies \begin{cases} b - a = 0,\\\ b = 2, \end{cases}
logo (a=2,\ b=2].
Portanto
[I]_{\beta}^{\beta_{2}} = \begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

[I]_{\beta_{2}}^{\beta} é simplesmente a inversa de [I]_{\beta}^{\beta_{2}} ou podemos refazer o mesmo processo: expressar cada vetor de \beta_{2} em \beta.
(1) (-1,0)=x(1,0)+y(0,2) x=-1,\\ y=0.
(2) (1,1)=x(1,0)+y(0,2) x=1,\\\ 2y=1\implies y=\tfrac12.
Logo
[I]_{\beta_{2}}^{\beta} = \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para [I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}} escrevemos cada vetor de \beta_{2} em \beta_{3}.
(1) (-1,0)=a(-1,-1)+b(0,-1)
(-a,\;-a-b)=(-1,0)\implies a=1,\\ b=-1.
(2) (1,1)=a(-1,-1)+b(0,-1)
(-a,\;-a-b)=(1,1)\implies a=-1,\\ b=0.
Logo
[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para [I]_{\beta_{3}}^{\beta} escrevemos cada vetor de \beta_{3} em \beta.
(1) (-1,-1)=x(1,0)+y(0,2) x=-1,\\\ 2y=-1\implies y=-\tfrac12.
(2) (0,-1)=x(1,0)+y(0,2) x=0,\\\ 2y=-1\implies y=-\tfrac12.
Logo
[I]_{\beta_{3}}^{\beta} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ -\tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 6

(b) Para v=(3,-2) encontramos [v]_{\beta} resolvendo (3,-2)=x(1,0)+y(0,2)=(x,2y).
Isso dá x=3 e 2y=-2\implies y=-1.
Portanto
[v]_{\beta} = \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 7

(c) Se [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}4\\\ 0\end{pmatrix}, então
[v]_{\beta_{2}} = [I]_{\beta}^{\beta_{2}}\,[v]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

(a)(i)
[I]_{\beta}^{\beta_{2}} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
(a)(ii)
[I]_{\beta_{2}}^{\beta} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix}.
(a)(iii)
[I]_{\beta_{2}}^{\beta_{3}} = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
(a)(iv)
[I]_{\beta_{3}}^{\beta} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\\ -\tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix}.
(b) [v]_{\beta} = \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}.
(c) [v]_{\beta_{2}} = \begin{pmatrix}-4\\\ 0\end{pmatrix}.

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