5ㅡㅡ Questão: (1,5 ponto) Determine o gráfico de uma função
que satisfaça simultaneamente as seguintes características:
-
é ímpar;
-
;
-
é crescente no intervalo
;
-
para todo
;
-
e
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos uma função
tal que
-
é ímpar, -
é crescente em e em , -
para todo , -
, (isto é, ), e .
Para desenhar o gráfico, basta juntar esses pontos-chave de forma a respeitar as monotonicidades e a simetria ímpar.
Passo 2
Da ímparidade vem imediatamente
Em particular, os zeros estão em
e
.
Passo 3
Em
deve ser crescente e satisfazer
,
. Podemos, por exemplo, ligar linearmente esses pontos. Em seguida, em
não há restrição de monotonicidade, e precisamos ir de
a
, de modo a preparar o trecho em que
para
. Portanto, escolhemos um segmento decrescente de
até
.
Passo 4
Para
queremos que
e chegar em
. Ligamos linearmente de
a
. Aí, em
,
deve voltar a ser crescente mas permanecer sempre negativa; podemos por exemplo continuar linearmente subindo de
até um ponto arbitrário em que ainda seja negativo (digamos
) e então suavizar para uma reta que tende a alguma assíntota negativa.
Passo 5
Finalmente, estendemos tudo para
via simetria ímpar: cada ponto
na parte positiva gera
. Assim temos os trechos
- de
a crescente, - de
a decrescente, - de
a crescente, - e para
uma continuação decrescente que espelha a parte .
Resposta
O gráfico de
é dado por um desenho piecewise que conecta linearmente os pontos
respeitando as monotonicidades:
– crescente em e em
,
– para
,
e depois espelhado de forma ímpar para .
– crescente em
–
e depois espelhado de forma ímpar para