5ㅡㅡ Questão: (1,5 ponto) Determine o gráfico de uma função f que satisfaça simultaneamente as seguintes características:
  • f é ímpar;
  • Dom(f)=R;
  • f é crescente no intervalo [0,2] cup[9,+infty[;
  • f(x)<0 para todo x>6;
  • f(2)=5, f^-1(0)=-6 e f(9)=-4.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos uma função f:RtoR tal que
  1. f é ímpar,
  2. f é crescente em [0,2] e em [9,infty[,
  3. f(x)<0 para todo x>6,
  4. f(2)=5, ,f^-1(0)=-6 (isto é, f(-6)=0), e f(9)=-4.
    Para desenhar o gráfico, basta juntar esses pontos-chave de forma a respeitar as monotonicidades e a simetria ímpar.

Passo 2

Da ímparidade vem imediatamente
f(0)=0, f(-2)=-f(2)=-5, f(6)=-f(-6)=0, f(-9)=-f(9)=4
Em particular, os zeros estão em x=-6 e x=6.

Passo 3

Em [0,2] f deve ser crescente e satisfazer f(0)=0, f(2)=5. Podemos, por exemplo, ligar linearmente esses pontos. Em seguida, em [2,6] não há restrição de monotonicidade, e precisamos ir de f(2)=5 a f(6)=0, de modo a preparar o trecho em que f(x)<0 para x>6. Portanto, escolhemos um segmento decrescente de (2,5) até (6,0).

Passo 4

Para xin[6,9] queremos que f(x)<0 e chegar em f(9)=-4. Ligamos linearmente de (6,0) a (9,-4). Aí, em [9,infty[, f deve voltar a ser crescente mas permanecer sempre negativa; podemos por exemplo continuar linearmente subindo de (9,-4) até um ponto arbitrário em que ainda seja negativo (digamos (12,-1)) e então suavizar para uma reta que tende a alguma assíntota negativa.

Passo 5

Finalmente, estendemos tudo para x<0 via simetria ímpar: cada ponto (a,b) na parte positiva gera (-a,-b). Assim temos os trechos
  • de (-2,-5) a (0,0) crescente,
  • de (-6,0) a (-2,-5) decrescente,
  • de (-9,4) a (-6,0) crescente,
  • e para x<= -9 uma continuação decrescente que espelha a parte x>=9.

Resposta

O gráfico de f é dado por um desenho piecewise que conecta linearmente os pontos
(-9,4)to(-6,0)to(-2,-5)to(0,0)to(2,5)to(6,0)to(9,-4)
respeitando as monotonicidades:
– crescente em [0,2] e em [9,infty[,
f(x)<0 para x>6,
e depois espelhado de forma ímpar para x<0.

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