2-(SEAPE). Em determinado período, um pecuarista constatou que a população P , em milhares, de caprinos e ovinos da empresa onde atuava variava de acordo com a função \mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{1}{4} \cdot 2^{\mathrm{t}}, em que t representa o tempo, em anos, a partir do início do registro dessa população. Depois de 6 anos do início desse registro, a população, em milhares, de caprinos e ovinos será de:
A) 2 .
B) 3 .
C) 9 .
D) 12 .
E) 16 .

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{1}{4}\cdot 2^{\mathrm{t}}, em que \mathrm{t} representa o tempo, em anos, a partir do início do registro. Pergunta-se: qual será a população depois de 6 anos do início do registro? Também note que a população \mathrm{P} está medida em milhares (ou seja, se \mathrm{P}=16, são 16{,}000 animais).

Passo 2

O que precisamos fazer é calcular o valor da função no tempo \mathrm{t}=6; isto é, avaliar \mathrm{P}(6). Substituir a variável tempo pelo número 6 significa trocar \mathrm{t} por 6 na expressão \frac{1}{4}\cdot 2^{\mathrm{t}} e então simplificar.
Pequena aula sobre potências (útil aqui): \;2^{n} significa multiplicar 2 por si mesmo n vezes. Por exemplo,
2^{6}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2.
Fazendo as multiplicações em cascata (ou pensando em dobrar 6 vezes): 1\to2\to4\to8\to16\to32\to64. Logo
2^{6}=64.

Passo 3

Agora substituímos em \mathrm{P}(\mathrm{t})=\frac{1}{4}\cdot 2^{\mathrm{t}}:
\mathrm{P}(6)=\frac{1}{4}\cdot 2^{6}=\frac{1}{4}\cdot 64.
Fazendo a multiplicação / divisão:
\frac{1}{4}\cdot 64=\frac{64}{4}=16.
(Alternativa rápida com regras de expoentes: \frac{1}{4}=2^{-2}, então 2^{-2}\cdot 2^{6}=2^{4}=16. Mesma resposta.)

Passo 4

Interpretação final da unidade: como \mathrm{P} está em milhares, \mathrm{P}(6)=16 significa 16{,}000 caprinos e ovinos. Bom trabalho — você substituiu, usou a definição de potência e simplificou sem precisar de calculadora.

Resposta

E) 16.

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