1-(SEAPE). Em uma experiência em um laboratório, uma população de ratazanas apresentou um crescimento exponencial por um determinado período: Durante esse tempo, o número de ratazanas podia ser calculado por meio da função N(t)=9 \cdot 3 .^{44 / 300}, onde t é o tempo dado em dias. Ao final desse período, a população de ratazanas era de 27 indivíduos.
Por quanto tempo essa população de ratazanas apresentou esse crescimento exponencial?
A) 10 dias.
B) 27 dias.
C) 75 dias.
D) 150 dias.
E) 375 dias.

Passo 1

O enunciado (literalmente) nos dá a função N(t)=9 \cdot 3 .^{44 / 300}, diz que t é tempo em dias e informa que, ao final do período, a população era 27 indivíduos. A pergunta é: “Por quanto tempo essa população de ratazanas apresentou esse crescimento exponencial?”\n
Informações relevantes que o enunciado fornece (textualmente):
\begin{aligned} &\text{Função fornecida: }N(t)=9 \cdot 3 .^{44 / 300} \\\ &\text{Tempo \(t\) em dias (variável)} \\ &\text{Valor final observado: }N(T)=27\ \text{indivíduos} \end{aligned}çãáí
Observação importante e decisiva: a expressão dada para N(t) está ambígua/formatada de forma incorreta — não aparece t no expoente de modo claro (tem um ponto e uma potência solta: “3 .^{44 / 300}”). Com a expressão tal como escrita não há uma relação clara entre t e N(t), portanto não dá para resolver o problema exatamente sem corrigir/interpretar a fórmula.

Passo 2

Explicação didática do modelo exponencial que normalmente aparece nesse tipo de questão (para você saber como proceder na prova). O modelo padrão de crescimento exponencial pode ser escrito de duas formas equivalentes comuns:
N(t)=N_0\cdot a^{t}\quad\text{ou}\quad N(t)=N_0\cdot a^{k t},
onde:
  • N(t) é a população no tempo t;
  • N_0 é a população inicial (quando t=0);
  • a é a base (fator de crescimento por unidade de tempo, por exemplo se a=3 em cada dia triplica);
  • k é um coeficiente que ajusta a unidade do tempo (por exemplo, se a base a é por hora e t está em dias).
Para encontrar o tempo t em que a população chega a um certo valor N, fazemos:
\frac{N(t)}{N_0}=a^{k t}.
Aplicamos logaritmo (vou usar log natural \ln, mas qualquer base serve):
\ln\!\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)=\ln\!\big(a^{k t}\big)=k t\ln(a).
Isolando t:
t=\frac{\ln\!\left(\dfrac{N(t)}{N_0}\right)}{k\ln(a)}.
Se a base for a=3, podemos usar logaritmo na base 3:
t=\frac{\log_3\!\left(\dfrac{N(t)}{N_0}\right)}{k}.
Esse é o procedimento padrão: dividir por N_0, usar logaritmo e isolar t. Vou aplicar esse raciocínio a interpretações plausíveis da expressão dada, para mostrar como se resolve na prova.

Passo 3

Interpretação plausível 1 (muito comum): o expoente deveria ser proporcional a t, isto é
\text{interpretação A:}\quad N(t)=9\cdot 3^{\frac{44}{300}\,t}.çã
Aqui N_0=9, a=3 e k=\dfrac{44}{300}. Aplicando o método do passo anterior para N(T)=27:
\frac{27}{9}=3^{\frac{44}{300}T}\quad\Rightarrow\quad 3=3^{\frac{44}{300}T}.
Como 3=3^{1}, igualamos expoentes:
\frac{44}{300}T=1 \quad\Rightarrow\quad T=\frac{300}{44}=\frac{75}{11}\approx 6{,}818\\ \text{dias}.
Comentário: esse resultado não coincide com nenhuma das alternativas listadas (10,\;27,\;75,\;150,\;375). Portanto, se essa era a intenção da fórmula, as alternativas não batem com o cálculo.

Passo 4

Interpretação plausível 2: o expoente poderia ter sido \dfrac{300}{44}t por engano de posição, isto é
\text{interpretação B:}\quad N(t)=9\cdot 3^{\frac{300}{44}\,t}.çã
Repetindo o raciocínio para N(T)=27:
3=3^{\frac{300}{44}T}\quad\Rightarrow\quad \frac{300}{44}T=1 \quad\Rightarrow\quad T=\frac{44}{300}=\frac{11}{75}\approx 0{,}1467\\ \text{dias},
o que também não aparece entre as opções.

Passo 5

Interpretação plausível 3 (menos provável, mas tecnicamente possível): o expoente é t^{44/300}, isto é
\text{interpretação C:}\quad N(t)=9\cdot 3^{\,t^{44/300}}.çã
Então
3=3^{\,T^{44/300}}\quad\Rightarrow\quad T^{44/300}=1 \quad\Rightarrow\quad T=1\\ \text{dia},
novamente não presente nas alternativas.

Passo 6

Interpretação que reproduz literalmente o texto (sem t no expoente): se a expressão fosse realmente
N(t)=9\cdot 3^{44/300}\quad(\text{constante, sem dependência de }t),ê
então N(t) é uma constante aproximadamente 9\cdot 3^{0{,}14666}\approx 10{,}46, nunca chega a 27. Logo essa leitura torna o enunciado inconsistente com a informação final N(T)=27.

Passo 7

Resumo das tentativas e conclusão técnica: testei as interpretações mais plausíveis da expressão ambígua. Em três interpretações razoáveis os valores de T que se obtêm são, respectivamente, aproximadamente 6{,}818 dias, 0{,}1467 dias e 1 dia — nenhuma das quais coincide com as alternativas do enunciado. A leitura literal sem t produz uma função constante que não alcança 27. Portanto a expressão original dada em texto está mal formatada ou houve um erro de digitação no enunciado que impede determinar univocamente a alternativa correta.

Resposta

Não é possível determinar o tempo com os dados fornecidos: a expressão de N(t) no enunciado está ambígua/formatada incorretamente, então não há como escolher uma das alternativas.

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