1-(SEAPE). Em uma experiência em um laboratório, uma população de ratazanas apresentou um crescimento exponencial por um determinado período: Durante esse tempo, o número de ratazanas podia ser calculado por meio da função
, onde t é o tempo dado em dias. Ao final desse período, a população de ratazanas era de 27 indivíduos.
Por quanto tempo essa população de ratazanas apresentou esse crescimento exponencial?
A) 10 dias.
B) 27 dias.
C) 75 dias.
D) 150 dias.
E) 375 dias.
Por quanto tempo essa população de ratazanas apresentou esse crescimento exponencial?
A) 10 dias.
B) 27 dias.
C) 75 dias.
D) 150 dias.
E) 375 dias.
Passo 1
O enunciado (literalmente) nos dá a função
, diz que
é tempo em dias e informa que, ao final do período, a população era
indivíduos. A pergunta é: “Por quanto tempo essa população de ratazanas apresentou esse crescimento exponencial?”\n
Informações relevantes que o enunciado fornece (textualmente):
Informações relevantes que o enunciado fornece (textualmente):
Observação importante e decisiva: a expressão dada para
está ambígua/formatada de forma incorreta — não aparece
no expoente de modo claro (tem um ponto e uma potência solta: “3 .^{44 / 300}”). Com a expressão tal como escrita não há uma relação clara entre
e
, portanto não dá para resolver o problema exatamente sem corrigir/interpretar a fórmula.
Passo 2
Explicação didática do modelo exponencial que normalmente aparece nesse tipo de questão (para você saber como proceder na prova). O modelo padrão de crescimento exponencial pode ser escrito de duas formas equivalentes comuns:
onde:
-
é a população no tempo ; -
é a população inicial (quando ); -
é a base (fator de crescimento por unidade de tempo, por exemplo se em cada dia triplica); -
é um coeficiente que ajusta a unidade do tempo (por exemplo, se a base é por hora e está em dias).
Para encontrar o tempo
em que a população chega a um certo valor
, fazemos:
Aplicamos logaritmo (vou usar log natural
, mas qualquer base serve):
Isolando
:
Se a base for
, podemos usar logaritmo na base
:
Esse é o procedimento padrão: dividir por
, usar logaritmo e isolar
. Vou aplicar esse raciocínio a interpretações plausíveis da expressão dada, para mostrar como se resolve na prova.
Passo 3
Interpretação plausível 1 (muito comum): o expoente deveria ser proporcional a
, isto é
Aqui
,
e
. Aplicando o método do passo anterior para
:
Como
, igualamos expoentes:
Comentário: esse resultado não coincide com nenhuma das alternativas listadas
. Portanto, se essa era a intenção da fórmula, as alternativas não batem com o cálculo.
Passo 4
Interpretação plausível 2: o expoente poderia ter sido
por engano de posição, isto é
Repetindo o raciocínio para
:
o que também não aparece entre as opções.
Passo 5
Interpretação plausível 3 (menos provável, mas tecnicamente possível): o expoente é
, isto é
Então
novamente não presente nas alternativas.
Passo 6
Interpretação que reproduz literalmente o texto (sem
no expoente): se a expressão fosse realmente
então
é uma constante aproximadamente
, nunca chega a
. Logo essa leitura torna o enunciado inconsistente com a informação final
.
Passo 7
Resumo das tentativas e conclusão técnica: testei as interpretações mais plausíveis da expressão ambígua. Em três interpretações razoáveis os valores de
que se obtêm são, respectivamente, aproximadamente
dias,
dias e
dia — nenhuma das quais coincide com as alternativas do enunciado. A leitura literal sem
produz uma função constante que não alcança
. Portanto a expressão original dada em texto está mal formatada ou houve um erro de digitação no enunciado que impede determinar univocamente a alternativa correta.
Resposta
Não é possível determinar o tempo com os dados fornecidos: a expressão de
no enunciado está ambígua/formatada incorretamente, então não há como escolher uma das alternativas.