(Retificador) Encontre a série de Fourier da função obtida quando passamos a tensão v(t)=V_{0} \cos 100 \pi t através de um retificador de meia-onda.

Passo 1

O enunciado dá a tensão de entrada \;v(t)=V_{0}\cos 100\pi t\; e pede a série de Fourier do sinal de saída quando essa tensão passa por um retificador de meia-onda.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Dado: \;v(t)=V_{0}\cos(100\pi t)\;.
  • O retificador de meia-onda deixa passar as semi-períodos positivos e zera os negativos, ou seja a tensão de saída v_{r}(t) vale \;V_{0}\cos(100\pi t)\; quando \cos(100\pi t)\ge 0 e vale \;0\; quando \cos(100\pi t)<0.
  • Pedido: escrever a série de Fourier completa (termo DC e harmônicos) dessa v_{r}(t).
    Observação: não vou assumir que você saiba Fourier — vou explicar cada fórmula e cada passo de integração.

Passo 2

Vamos reparametrizar o problema num ângulo para simplificar as integrais. Defino a variável angular padrão \theta\) associada ao tempo por \[\theta = \omega_{0} t,\qquad \omega_{0}=\frac{2\pi}{T}.
Aqui a entrada tem \omega_{0}=100\pi. O período é
T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=\frac{2\pi}{100\pi}=0{,}02\\ \text{s}.
Trabalhar em \theta é útil porque a função fica 2\pi-periódica em \theta. Em termos de \theta a saída retificada é a função periódica
f(\theta)= \begin{cases} V_{0}\cos\theta, & \text{se }|\theta|\le \dfrac{\pi}{2}\\ (\text{mód }2\pi),\\[6pt] 0, & \text{se }\dfrac{\pi}{2}<|\theta|\le\pi\\ (\text{mód }2\pi). \end{cases}óó
Ou seja, em cada período 2\pi\] a função é o cosseno no arco central \([-\,\pi/2,\pi/2] e zero no restante.]

Passo 3

Recap rápido e didático da série de Fourier em \theta (função 2\pi-periódica): qualquer função razoável f(\theta) tem a expansão
f(\theta)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos n\theta + B_{n}\sin n\theta\bigr),
com os coeficientes dados por
A_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\cos n\theta\\ d\theta,\qquad B_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\sin n\theta\\ d\theta,
e
A_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\\ d\theta.
Explicando: A_{0}/2 é o termo DC (média sobre um período). Os A_{n} medem a projeção sobre os cossenos e os B_{n} sobre os senos — são as “forças” dos harmônicos. Agora vamos calcular esses integrais para nossa função f(\theta). Sempre que integrarmos, vou fazer as contas completas.

Passo 4

Cálculo do termo DC A_{0}. Usamos que f(\theta)=V_{0}\cos\theta apenas em [-\,\pi/2,\pi/2] e zero no restante. Então
A_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\\ d\theta =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} V_{0}\cos\theta\\ d\theta.
Integramos: \int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta. Portanto
A_{0}=\frac{V_{0}}{\pi}\bigl[\sin\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} =\frac{V_{0}}{\pi}\bigl(1-(-1)\bigr)=\frac{2V_{0}}{\pi}.
O termo DC na série é A_{0}/2, logo o termo constante é
\frac{A_{0}}{2}=\frac{V_{0}}{\pi}.
Interpretação rápida: a média positiva da meia-onda é \;V_{0}/\pi\;.

Passo 5

Cálculo dos coeficientes B_{n} (coeficientes de seno). Temos
B_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\sin n\theta\\ d\theta =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} V_{0}\cos\theta\sin n\theta\\ d\theta.
Observe: \cos\theta é uma função par de \theta e \sin n\theta é ímpar, então o produto \cos\theta\sin n\theta é ímpar. A integral de uma função ímpar num intervalo simétrico [-a,a] é zero. Portanto
B_{n}=0\quad\text{para todo }n.
Conseqüência prática: a série só tem termos em cosseno (além do DC).

Passo 6

Cálculo dos coeficientes A_{n}. Começamos com a integral
A_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} V_{0}\cos\theta\cos n\theta\\ d\theta.
Usamos a identidade produto-para-soma:
\cos\theta\cos n\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((n-1)\theta)+\cos((n+1)\theta)\bigr).
Logo
A_{n}=\frac{V_{0}}{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(\cos((n-1)\theta)+\cos((n+1)\theta)\bigr)\,d\theta.
Agora avaliamos as integrais. Para k\neq 0 temos
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(k\theta)\,d\theta=\frac{2}{k}\sin\frac{k\pi}{2}.
Atenção: quando k=0 então \cos(0\theta)=1 e a integral vale \pi. Isso acontece no caso n=1 porque aí n-1=0. Portanto trataremos n=1 separadamente.

Passo 7

Caso especial n=1. Para n=1 temos
A_{1}=\frac{V_{0}}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\\ d\theta.
Use \cos^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta). Assim
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\,d\theta+\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos2\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\pi + 0=\frac{\pi}{2}.
Logo
A_{1}=\frac{V_{0}}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{V_{0}}{2}.
Interpretação: o coeficiente do cosseno fundamental ( \cos\theta, que é a frequência \omega_{0}) é \;V_{0}/2.

Passo 8

Caso geral n\ge 2. Para n\ge 2 ambos n-1 e n+1 são não nulos, então podemos usar a fórmula dos senos:
A_{n}=\frac{V_{0}}{2\pi}\left(\frac{2}{\,n-1\,}\sin\frac{(n-1)\pi}{2}+\frac{2}{\,n+1\,}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}\right).
Simplificando,
A_{n}=\frac{V_{0}}{\pi}\left(\frac{\sin\frac{(n-1)\pi}{2}}{n-1}+\frac{\sin\frac{(n+1)\pi}{2}}{n+1}\right).
Agora analisamos por pares n par/ímpar:
  • Se n é ímpar e n\ge 3, então (n\pm1) são pares múltiplos de 2 e \sin\bigl(\text{inteiro}\cdot\pi\bigr)=0, logo A_{n}=0 para todo n ímpar maior que 1.
  • Se n é par, escreva n=2k com k\ge 1. Então \sin\frac{(2k\pm1)\pi}{2}=\pm(-1)^{k-1} (mais exatamente \sin\frac{(2k+1)\pi}{2}=(-1)^{k} e \sin\frac{(2k-1)\pi}{2}=(-1)^{k-1}). Substituindo e combinando frações obtém-se (faço as contas explícitas): A_{2k}=\frac{V_{0}}{\pi}\left(\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}+\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\right) =\frac{2V_{0}}{\pi}\,\frac{(-1)^{k-1}}{4k^{2}-1}.
Resumo: coeficientes não nulos são A_{0}, A_{1} e A_{2k} para k\ge 1; todos os B_{n} são zero; e A_{n}=0 para n ímpar \ge 3.

Passo 9

Agora escrevemos a série em função do tempo. Lembre que \theta=\omega_{0}t com \omega_{0}=100\pi. Substituindo os coeficientes, a série de Fourier da saída retificada v_{r}(t)=f(\omega_{0}t) fica
v_{r}(t)=\frac{A_{0}}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\cos(n\omega_{0}t).
Substituindo A_{0}=2V_{0}/\pi, A_{1}=V_{0}/2 e A_{2k}=\dfrac{2V_{0}}{\pi}\dfrac{(-1)^{k-1}}{4k^{2}-1}, obtemos a forma mais compacta
v_{r}(t)=\frac{V_{0}}{\pi}+\frac{V_{0}}{2}\cos(\omega_{0}t) +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2V_{0}}{\pi}\,\frac{(-1)^{\,k-1}}{4k^{2}-1}\cos(2k\omega_{0}t).
Lembre: \omega_{0}=100\pi. Podemos explicitar isso na expressão:
v_{r}(t)=\frac{V_{0}}{\pi}+\frac{V_{0}}{2}\cos(100\pi t) +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2V_{0}}{\pi}\,\frac{(-1)^{\,k-1}}{4k^{2}-1}\cos\bigl(200k\pi t\bigr).

Passo 10

Pequena verificação numérica intuitiva (para te dar confiança): em t=0 a saída vale v_{r}(0)=V_{0}. Avaliando a série em t=0
\frac{V_{0}}{\pi}+\frac{V_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2V_{0}}{\pi}\frac{(-1)^{k-1}}{4k^{2}-1}=V_{0},
o que é coerente (a série converge para o valor do sinal num ponto de continuidade). Isso mostra que os coeficientes estão consistentes. Você pode usar essa série para estimar a forma de onda com alguns primeiros termos só (por exemplo DC + termo fundamental + primeiro termo par já dá boa aproximação).

Resposta

v_{r}(t)=\frac{V_{0}}{\pi}+\frac{V_{0}}{2}\cos(100\pi t) +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2V_{0}}{\pi}\,\frac{(-1)^{\,k-1}}{4k^{2}-1}\cos\bigl(200k\pi t\bigr).

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