(Retificador) Encontre a série de Fourier da função obtida quando passamos a tensão v(t)=V_{0} \cos 100 \pi t através de um retificador de meia-onda.
Passo 1
O enunciado dá a tensão de entrada \;v(t)=V_{0}\cos 100\pi t\; e pede a série de Fourier do sinal de saída quando essa tensão passa por um retificador de meia-onda.
Informações dadas e o que é pedido:
Dado: \;v(t)=V_{0}\cos(100\pi t)\;.
O retificador de meia-onda deixa passar as semi-períodos positivos e zera os negativos, ou seja a tensão de saída v_{r}(t) vale \;V_{0}\cos(100\pi t)\; quando \cos(100\pi t)\ge 0 e vale \;0\; quando \cos(100\pi t)<0.
Pedido: escrever a série de Fourier completa (termo DC e harmônicos) dessa v_{r}(t).
Observação: não vou assumir que você saiba Fourier — vou explicar cada fórmula e cada passo de integração.
Passo 2
Vamos reparametrizar o problema num ângulo para simplificar as integrais. Defino a variável angular padrão \theta\) associada ao tempo por
\[\theta = \omega_{0} t,\qquad \omega_{0}=\frac{2\pi}{T}.
Explicando: A_{0}/2 é o termo DC (média sobre um período). Os A_{n} medem a projeção sobre os cossenos e os B_{n} sobre os senos — são as “forças” dos harmônicos. Agora vamos calcular esses integrais para nossa função f(\theta). Sempre que integrarmos, vou fazer as contas completas.
Passo 4
Cálculo do termo DC A_{0}. Usamos que f(\theta)=V_{0}\cos\theta apenas em [-\,\pi/2,\pi/2] e zero no restante. Então
Observe: \cos\theta é uma função par de \theta e \sin n\theta é ímpar, então o produto \cos\theta\sin n\theta é ímpar. A integral de uma função ímpar num intervalo simétrico [-a,a] é zero. Portanto
B_{n}=0\quad\text{para todo }n.
Conseqüência prática: a série só tem termos em cosseno (além do DC).
Passo 6
Cálculo dos coeficientes A_{n}. Começamos com a integral
Se n é ímpar e n\ge 3, então (n\pm1) são pares múltiplos de 2 e \sin\bigl(\text{inteiro}\cdot\pi\bigr)=0, logo A_{n}=0 para todo n ímpar maior que 1.
Se n é par, escreva n=2k com k\ge 1. Então \sin\frac{(2k\pm1)\pi}{2}=\pm(-1)^{k-1} (mais exatamente \sin\frac{(2k+1)\pi}{2}=(-1)^{k} e \sin\frac{(2k-1)\pi}{2}=(-1)^{k-1}). Substituindo e combinando frações obtém-se (faço as contas explícitas):A_{2k}=\frac{V_{0}}{\pi}\left(\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}+\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\right) =\frac{2V_{0}}{\pi}\,\frac{(-1)^{k-1}}{4k^{2}-1}.
Resumo: coeficientes não nulos são A_{0}, A_{1} e A_{2k} para k\ge 1; todos os B_{n} são zero; e A_{n}=0 para n ímpar \ge 3.
Passo 9
Agora escrevemos a série em função do tempo. Lembre que \theta=\omega_{0}t com \omega_{0}=100\pi. Substituindo os coeficientes, a série de Fourier da saída retificada v_{r}(t)=f(\omega_{0}t) fica
o que é coerente (a série converge para o valor do sinal num ponto de continuidade). Isso mostra que os coeficientes estão consistentes. Você pode usar essa série para estimar a forma de onda com alguns primeiros termos só (por exemplo DC + termo fundamental + primeiro termo par já dá boa aproximação).