(SEARS 15.94) Em um recipiente de massa desprezível, 0,140 k g de gelo com temperatura inicial de -15^{\circ} \mathrm{C} é adicionado a 0,190 \mathrm{~kg} de água que está a uma temperatura de 35,0^{\circ} C.
(a) Sabendo que não ocorre perda de calor para as vizinhanças, qual é a temperatura final do sistema?
(b) Quantos quilogramas de água e de gelo permanecem em equilíbrio na temperatura final?

Passo 1

O enunciado dá um sistema isolado (sem perda de calor) com duas porções de matéria inicialmente em temperaturas diferentes e pede:
  • (a) a temperatura final do sistema em equilíbrio;
  • (b) as massas de água e de gelo que coexistem nessa temperatura final.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • massa do gelo inicial: m_{g0}=0,140\\ \mathrm{kg},
  • temperatura inicial do gelo: T_{g0}=-15^\circ\mathrm{C},
  • massa da água inicial: m_{w0}=0,190\\ \mathrm{kg},
  • temperatura inicial da água: T_{w0}=35{,}0^\circ\mathrm{C}.
Constantes físicas (valores usuais; vou adotá‑los e mostrar onde são usados):
  • calor específico do gelo: c_{g}=2100\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)},
  • calor específico da água líquida: c_{w}=4186\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)},
  • calor latente de fusão do gelo: L_{f}=3,34\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 2

Ideia física e fórmulas fundamentais (sem pular etapas):
  • Em um sistema isolado, a soma algébrica dos calores é zero: o calor total cedido pelos corpos que resfriam é igual ao calor total absorvido pelos corpos que aquecem ou mudam de fase.
  • Convenção de sinal: calor absorvido \Rightarrow positivo; calor cedido \Rightarrow negativo. Na prática, eu vou escrever a igualdade energia cedida = energia absorvida.
  • Processos possíveis com o gelo: (i) aquecer o gelo de -15^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}; (ii) fundir parte ou todo o gelo à temperatura 0^\circ\mathrm{C}; (iii) aquecer a água resultante (se tudo fundir) acima de 0^\circ\mathrm{C}.
  • Fórmulas usadas:
    • aquecer uma massa m de T_1 até T_2: Q = m c (T_2-T_1), onde c é o calor específico (unidade \mathrm{J/(kg\,^\circ C)});
    • calor para fundir massa m: Q = m L_{f}.
  • Estratégia: testar primeiro a hipótese "todo o gelo funde e sistema atinge uma temperatura final T_f>0^\circ\mathrm{C}". Se isso levar a T_f<0^\circ\mathrm{C} será contraditório e então a temperatura de equilíbrio será 0^\circ\mathrm{C} com coexistência de gelo e água; nesse segundo caso calcular a massa que funde.

Passo 3

Hipótese 1: todo o gelo funde e o sistema fica com água à temperatura final T_f>0^\circ\mathrm{C}.
Calores necessários:
  1. aquecer o gelo de -15^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m_{g0}\, c_{g}\, (0-(-15)) = m_{g0}\, c_{g}\cdot 15.
Substituindo:
Q_1 = 0,140 \times 2100 \times 15 = 4410\\ \mathrm{J}.
  1. fundir todo o gelo à 0^\circ\mathrm{C}:
Q_2 = m_{g0}\, L_{f} = 0,140 \times 3{,}34\times10^{5} = 46760\\ \mathrm{J}.
  1. aquecer a água resultante (massa m_{g0}) de 0^\circ\mathrm{C} até T_f:
Q_3 = m_{g0}\, c_{w}\, (T_f-0) = m_{g0}\, c_{w}\, T_f.
Calor cedido pela água quente ao resfriar de 35{,}0^\circ\mathrm{C} até T_f:
Q_{\text{ced}} = m_{w0}\, c_{w}\, (35{,}0 - T_f).
Pela conservação de energia (calor cedido = calor absorvido):
Q_{\text{ced}} = Q_1 + Q_2 + Q_3.
Colocando os números:
0{,}190\cdot 4186\cdot(35{,}0-T_f) = 4410 + 46760 + 0{,}140\cdot4186\cdot T_f.
Calcule os coeficientes numéricos:
m_{w0}c_{w}=0{,}190\times4186=795{,}34\\ \mathrm{J/^\circ C},
m_{g0}c_{w}=0{,}140\times4186=586{,}04\\ \mathrm{J/^\circ C}.
A equação fica:
795{,}34(35{,}0-T_f)=51170 + 586{,}04\,T_f,
onde 51170=4410+46760.
Desenvolvendo:
795{,}34\cdot35{,}0 - 795{,}34\,T_f = 51170 + 586{,}04\,T_f,
27836{,}9 - 795{,}34\,T_f = 51170 + 586{,}04\,T_f,
27836{,}9 - 51170 = 795{,}34\,T_f + 586{,}04\,T_f,
-23333{,}1 = 1381{,}38\,T_f,
T_f = \dfrac{-23333{,}1}{1381{,}38} \approx -16{,}9^\circ\mathrm{C}.
Resultado: T_f\approx -16{,}9^\circ\mathrm{C}. Isso contradiz a hipótese inicial (exigia T_f>0^\circ\mathrm{C}). Portanto nem todo o gelo pode ter fundido: a hipótese é inválida.

Passo 4

Conclusão do passo anterior: a temperatura de equilíbrio não pode ser maior que 0^\circ\mathrm{C} porque a conta deu T_f<0^\circ\mathrm{C} sob a hipótese “todo gelo vira água”. Assim o equilíbrio terá temperatura T_f=0^\circ\mathrm{C} com coexistência de gelo e água (sempre que haja gelo remanescente a temperatura de equilíbrio é 0^\circ\mathrm{C} à pressão ambiente).
Agora calcular quantos quilogramas de gelo fundem até que todo o calor cedido pela água ao resfriar até 0^\circ\mathrm{C} seja consumido.
Calor cedido pela água ao ir de 35{,}0^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{w\to0} = m_{w0}\, c_{w}\, (35{,}0-0) = 0{,}190\times4186\times35{,}0 = 27836{,}9\\ \mathrm{J}.
Calor necessário para aquecer o gelo de -15^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C} (já calculado):
Q_{g,-15\to0}=4410\\ \mathrm{J}.
Calor sobrando para fusão depois de aquecer o gelo a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{sobr}} = Q_{w\to0} - Q_{g,-15\to0} = 27836{,}9 - 4410 = 23426{,}9\\ \mathrm{J}.
Massa de gelo que consegue fundir com esse calor:
m_{\text{fund}} = \dfrac{Q_{\text{sobr}}}{L_{f}} = \dfrac{23426{,}9}{3{,}34\times10^{5}} \approx 0{,}07017\\ \mathrm{kg}.
Portanto:
  • gelo inicial m_{g0}=0{,}140\\ \mathrm{kg},
  • massa de gelo que fundiu m_{\text{fund}}\approx0{,}07017\\ \mathrm{kg},
  • massa de gelo remanescente m_{g,\text{final}}=m_{g0}-m_{\text{fund}}\approx 0{,}140-0{,}07017=0{,}06983\\ \mathrm{kg}.
Massa de água final:
  • água inicial m_{w0}=0{,}190\\ \mathrm{kg},
  • somando a água proveniente do gelo fundido m_{\text{fund}},
m_{w,\text{final}} = m_{w0} + m_{\text{fund}} \approx 0{,}190 + 0{,}07017 = 0{,}26017\\ \mathrm{kg}.
Conferência de conservação de massa: m_{g,\text{final}}+m_{w,\text{final}} = 0{,}06983 + 0{,}26017 = 0{,}33000 = m_{g0}+m_{w0} (ok).

Resposta

T_f = 0{,}0^\circ\mathrm{C}\n
m_{\text{água final}} \approx 0{,}260\\ \mathrm{kg}á\n
m_{\text{gelo final}} \approx 0{,}070\\ \mathrm{kg}

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