(SEARS 15.94) Em um recipiente de massa desprezível,
de gelo com temperatura inicial de
é adicionado a
de água que está a uma temperatura de
.
(a) Sabendo que não ocorre perda de calor para as vizinhanças, qual é a temperatura final do sistema?
(b) Quantos quilogramas de água e de gelo permanecem em equilíbrio na temperatura final?
(a) Sabendo que não ocorre perda de calor para as vizinhanças, qual é a temperatura final do sistema?
(b) Quantos quilogramas de água e de gelo permanecem em equilíbrio na temperatura final?
Passo 1
O enunciado dá um sistema isolado (sem perda de calor) com duas porções de matéria inicialmente em temperaturas diferentes e pede:
- (a) a temperatura final do sistema em equilíbrio;
- (b) as massas de água e de gelo que coexistem nessa temperatura final.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- massa do gelo inicial:
, - temperatura inicial do gelo:
, - massa da água inicial:
, - temperatura inicial da água:
.
Constantes físicas (valores usuais; vou adotá‑los e mostrar onde são usados):
- calor específico do gelo:
, - calor específico da água líquida:
, - calor latente de fusão do gelo:
.
Passo 2
Ideia física e fórmulas fundamentais (sem pular etapas):
- Em um sistema isolado, a soma algébrica dos calores é zero: o calor total cedido pelos corpos que resfriam é igual ao calor total absorvido pelos corpos que aquecem ou mudam de fase.
- Convenção de sinal: calor absorvido
positivo; calor cedido negativo. Na prática, eu vou escrever a igualdade energia cedida = energia absorvida. - Processos possíveis com o gelo: (i) aquecer o gelo de
até ; (ii) fundir parte ou todo o gelo à temperatura ; (iii) aquecer a água resultante (se tudo fundir) acima de . - Fórmulas usadas:
- aquecer uma massa
de até : , onde é o calor específico (unidade ); - calor para fundir massa
: .
- aquecer uma massa
- Estratégia: testar primeiro a hipótese "todo o gelo funde e sistema atinge uma temperatura final
". Se isso levar a será contraditório e então a temperatura de equilíbrio será com coexistência de gelo e água; nesse segundo caso calcular a massa que funde.
Passo 3
Hipótese 1: todo o gelo funde e o sistema fica com água à temperatura final
.
Calores necessários:
- aquecer o gelo de
até :
Substituindo:
- fundir todo o gelo à
:
- aquecer a água resultante (massa
) de até :
Calor cedido pela água quente ao resfriar de
até
:
Pela conservação de energia (calor cedido = calor absorvido):
Colocando os números:
Calcule os coeficientes numéricos:
A equação fica:
onde
.
Desenvolvendo:
Resultado:
. Isso contradiz a hipótese inicial (exigia
). Portanto nem todo o gelo pode ter fundido: a hipótese é inválida.
Passo 4
Conclusão do passo anterior: a temperatura de equilíbrio não pode ser maior que
porque a conta deu
sob a hipótese “todo gelo vira água”. Assim o equilíbrio terá temperatura
com coexistência de gelo e água (sempre que haja gelo remanescente a temperatura de equilíbrio é
à pressão ambiente).
Agora calcular quantos quilogramas de gelo fundem até que todo o calor cedido pela água ao resfriar até
seja consumido.
Calor cedido pela água ao ir de
até
:
Calor necessário para aquecer o gelo de
a
(já calculado):
Calor sobrando para fusão depois de aquecer o gelo a
:
Massa de gelo que consegue fundir com esse calor:
Portanto:
- gelo inicial
, - massa de gelo que fundiu
, - massa de gelo remanescente
.
Massa de água final:
- água inicial
, - somando a água proveniente do gelo fundido
,
Conferência de conservação de massa:
(ok).