Em um dispositivo semicondutor, uma camada de óxido forma uma barreira com 0.5 nm de largura e 10 V de altura entre os dois fios condutores. Elétrons chegam a barreira depois de serem acelerados por uma tensão de 5 V , partindo aproximadamente do repouso.
(i) Qual fração dos elétrons incidentes consegue atravessar a barreira por tunelamento?
(ii) Qual deve ser a tensão de aceleração para que a fração dos elétrons incidentes que consegue atravessar a barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item (i)?
(i) Qual fração dos elétrons incidentes consegue atravessar a barreira por tunelamento?
(ii) Qual deve ser a tensão de aceleração para que a fração dos elétrons incidentes que consegue atravessar a barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item (i)?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (i) A fração dos elétrons incidentes que atravessam a barreira por tunelamento quando são acelerados por uma tensão de
. - (ii) A tensão de aceleração necessária para que essa fração seja o dobro do item (i).
Informações fornecidas (vou listar tudo o que temos, com as unidades):
Observação: como
(isto é,
), os elétrons não têm energia clássicamente suficiente e a travessia só ocorre via tunelamento quântico.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, do jeitinho que cai na prova).
Quando uma partícula de massa e energia
enfrenta uma barreira retangular de altura
e largura
, a probabilidade de transmissão (fração que atravessa por tunelamento) para uma barreira “espessa” é dominada por um fator exponencial. A forma aproximada é
Quando uma partícula de massa
onde
Explicando cada coisa:
-
é a probabilidade de transmissão (fração dos elétrons incidentes que atravessam). -
é a largura da barreira em metros. -
é a massa do elétron ( ). -
e devem estar em joules dentro da raiz; quando dados em elétron-volt, convertemos multiplicando por . -
é a constante reduzida de Planck, .
Racional: a solução da equação de Schrödinger no interior da barreira decai exponencialmente com parâmetro; a transmissão é proporcional ao quadrado desse decaimento sobre a largura, daí o termo . Na prática, para barreiras finitas e energias bem abaixo de esse expoente domina e a aproximação é excelente.
Passo 3
Preparação das constantes e conversões numéricas que vamos usar.
Para evitar confusão: quando aparecer
dentro da raiz, vou convertê-lo para joules por
.
Passo 4
Cálculo do parâmetro
para
.
Primeiro convertemos a diferença de energia para joules:
Primeiro convertemos a diferença de energia para joules:
Agora calculamos
:
A raiz:
Portanto
Passo 5
Cálculo da transmissão
usando
.
Temos e
. Então
Temos
Logo
Interpretação: cerca de
(ou
) dos elétrons atravessam por tunelamento com
de aceleração. Dá para anotar mentalmente: barreira muito fina, probabilidade pequena, mas não nula.
Passo 6
Agora atacamos o item (ii): queremos dobrar a fração de transmissão. Ou seja, queremos
.
Usando a mesma aproximação exponencial,
Usando a mesma aproximação exponencial,
Tomando logaritmo,
Seja
a energia inicial e
a energia que buscamos. Então
Substituindo as expressões:
Rearranjando (dividindo por
) e isolando a raiz:
É conveniente definir uma constante
de modo que a equação equivalente é
Finalmente
Passo 7
Cálculo numérico da constante
e de
.
Calculemos :
Calculemos
Então
Agora calculamos os termos numéricos:
Portanto
Elevando ao quadrado:
Finalmente
Como a energia cinética dos elétrons é
, a tensão requerida é aproximadamente
(Confirmação rápida mental: aumentar a energia um pouco reduz o expoente e dobra a transmissão; o acréscimo de tensão é pequeno, cerca de
.)