Em um dispositivo semicondutor, uma camada de óxido forma uma barreira com 0.5 nm de largura e 10 V de altura entre os dois fios condutores. Elétrons chegam a barreira depois de serem acelerados por uma tensão de 5 V , partindo aproximadamente do repouso.
(i) Qual fração dos elétrons incidentes consegue atravessar a barreira por tunelamento?
(ii) Qual deve ser a tensão de aceleração para que a fração dos elétrons incidentes que consegue atravessar a barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item (i)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (i) A fração dos elétrons incidentes que atravessam a barreira por tunelamento quando são acelerados por uma tensão de 5\\ \mathrm{V}.
  2. (ii) A tensão de aceleração necessária para que essa fração seja o dobro do item (i).
Informações fornecidas (vou listar tudo o que temos, com as unidades):
\begin{aligned} &\text{Largura da barreira: } a = 0{,}5\\ \text{nm} = 0{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Altura da barreira: } V_0 = 10\\ \mathrm{eV},\\\ &\text{Tensão de aceleração inicial: } V_{\text{acc}} = 5\\ \mathrm{V}\\ \Rightarrow\\ \text{energia cinética dos elétrons } E = 5\\ \mathrm{eV},\\\ &\text{Os elétrons partem aproximadamente do repouso (portanto }E\approx eV_{\text{acc}}\text{).} \end{aligned}ãçãééé
Observação: como E<V_0 (isto é, 5\\ \mathrm{eV}<10\\ \mathrm{eV}), os elétrons não têm energia clássicamente suficiente e a travessia só ocorre via tunelamento quântico.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas, do jeitinho que cai na prova).
Quando uma partícula de massa m e energia E enfrenta uma barreira retangular de altura V_0>E e largura a, a probabilidade de transmissão (fração que atravessa por tunelamento) para uma barreira “espessa” é dominada por um fator exponencial. A forma aproximada é
T \approx \exp\big(-2\kappa a\big),
onde
\kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}.
Explicando cada coisa:
  • T é a probabilidade de transmissão (fração dos elétrons incidentes que atravessam).
  • a é a largura da barreira em metros.
  • m é a massa do elétron ( m = 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}).
  • V_0 e E devem estar em joules dentro da raiz; quando dados em elétron-volt, convertemos multiplicando por e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}.
  • \hbar é a constante reduzida de Planck, \hbar = 1{,}055\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
    Racional: a solução da equação de Schrödinger no interior da barreira decai exponencialmente com parâmetro \kappa; a transmissão é proporcional ao quadrado desse decaimento sobre a largura, daí o termo \exp(-2\kappa a). Na prática, para barreiras finitas e energias bem abaixo de V_0 esse expoente domina e a aproximação é excelente.

Passo 3

Preparação das constantes e conversões numéricas que vamos usar.
\begin{aligned} &m = 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},\\\ &\hbar = 1{,}055\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\\\ &e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV},\\\ &a = 0{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m},\\\ &V_0 = 10\\ \mathrm{eV},\quad E = 5\\ \mathrm{eV}. \end{aligned}
Para evitar confusão: quando aparecer (V_0-E) dentro da raiz, vou convertê-lo para joules por (V_0-E)\times e.

Passo 4

Cálculo do parâmetro \kappa para E=5\\ \mathrm{eV}.
Primeiro convertemos a diferença de energia para joules:
V_0-E = 10-5 = 5\\ \mathrm{eV} \quad\Rightarrow\quad (V_0-E)e = 5\times1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 8{,}01\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Agora calculamos 2m(V_0-E)e:
2m(V_0-E)e = 2\times9{,}11\times10^{-31}\times8{,}01\times10^{-19} =1{,}46\times10^{-48}\\ \mathrm{(SI)}.
A raiz:
\sqrt{2m(V_0-E)e} \approx 1{,}208\times10^{-24}\\ \mathrm{kg^{1/2}m^{1/2}s^{-1}}.
Portanto
\kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)e}}{\hbar} \approx \frac{1{,}208\times10^{-24}}{1{,}055\times10^{-34}} \approx 1{,}146\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Cálculo da transmissão T usando T\approx\exp(-2\kappa a).
Temos a=5{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m} e \kappa\approx1{,}146\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}. Então
2\kappa a = 2\times1{,}146\times10^{10}\times5{,}0\times10^{-10} =11{,}46.
Logo
T \approx e^{-11{,}46}\approx 1{,}06\times10^{-5}.
Interpretação: cerca de 1{,}06\times10^{-5} (ou 0{,}00106\%) dos elétrons atravessam por tunelamento com 5\\ \mathrm{V} de aceleração. Dá para anotar mentalmente: barreira muito fina, probabilidade pequena, mas não nula.

Passo 6

Agora atacamos o item (ii): queremos dobrar a fração de transmissão. Ou seja, queremos T' = 2T.
Usando a mesma aproximação exponencial,
T(E)=\exp\big(-2a\kappa(E)\big) \quad\text{com}\quad \kappa(E)=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)e}}{\hbar}.
Tomando logaritmo,
\ln T(E) = -2a\,\frac{\sqrt{2m(V_0-E)e}}{\hbar}.
Seja E_0=5\\ \mathrm{eV} a energia inicial e E' a energia que buscamos. Então
\ln T(E') = \ln(2T(E_0)) = \ln T(E_0) + \ln 2.
Substituindo as expressões:
-2a\,\frac{\sqrt{2m(V_0-E')e}}{\hbar} = -2a\,\frac{\sqrt{2m(V_0-E_0)e}}{\hbar} + \ln 2.
Rearranjando (dividindo por -2a/\hbar) e isolando a raiz:
\sqrt{V_0-E'} = \sqrt{V_0-E_0} - \frac{\hbar\ln 2}{2a\sqrt{2m e}}.
É conveniente definir uma constante
S \equiv \frac{2a\sqrt{2m e}}{\hbar},
de modo que a equação equivalente é
\sqrt{V_0-E'} = \sqrt{V_0-E_0} - \frac{\ln 2}{S}.
Finalmente
E' = V_0 -\Big(\sqrt{V_0-E_0} - \frac{\ln 2}{S}\Big)^2.

Passo 7

Cálculo numérico da constante S e de E'.
Calculemos S:
\sqrt{2m e} = \sqrt{2\times9{,}11\times10^{-31}\times1{,}602\times10^{-19}} \approx 5{,}405\times10^{-25}\\ \mathrm{(SI)}.
Então
S = \frac{2a\sqrt{2m e}}{\hbar} = \frac{2\times5{,}0\times10^{-10}\times5{,}405\times10^{-25}}{1{,}055\times10^{-34}} \approx 5{,}123.
Agora calculamos os termos numéricos:
\sqrt{V_0-E_0}=\sqrt{10-5}=\sqrt{5}\approx2{,}23607,
\frac{\ln 2}{S}=\frac{0{,}693147}{5{,}123}\approx0{,}1354.
Portanto
\sqrt{V_0-E'} \approx 2{,}23607 - 0{,}1354 = 2{,}1007.
Elevando ao quadrado:
\big(\sqrt{V_0-E'}\big)^2 \approx 2{,}1007^2 \approx 4{,}4129.
Finalmente
E' = V_0 - 4{,}4129 \approx 10 - 4{,}4129 = 5{,}5871\\ \mathrm{eV}.
Como a energia cinética dos elétrons é E' \approx eV_{\text{acc}}', a tensão requerida é aproximadamente
V_{\text{acc}}' \approx 5{,}5871\\ \mathrm{V}\approx 5{,}59\\ \mathrm{V}.
(Confirmação rápida mental: aumentar a energia um pouco reduz o expoente e dobra a transmissão; o acréscimo de tensão é pequeno, cerca de 0{,}59\\ \mathrm{V}.)

Resposta

\,1{,}06\times10^{-5}\n \,5{,}59\\ \mathrm{V}

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