A água é bombeada de um lago para um tanque de armazenamento 20 m acima a uma vazão de 100 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, consumindo 25 kW de energia elétrica. Desprezando as perdas por atrito nos tubos e todas as variações da energia cinética, determine a eficiência geral da bomba e a diferença de pressão entre a entrada e a saída da bomba.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas (peguei estes números do enunciado):
  • Vazão volumétrica: Q = 100\\ \mathrm{L/s} = 0{,}1\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Diferença de altura entre lago e tanque: \Delta z = 20\\ \mathrm{m}.
  • Potência elétrica consumida pela bomba: P_{\rm el} = 25\\ \mathrm{kW}.
  • Desprezar perdas por atrito e variações de energia cinética.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a eficiência geral (rendimento) da bomba.
  2. Determinar a diferença de pressão entre a entrada e a saída da bomba.

Passo 2

Primeiro vamos transformar a vazão em fluxo de massa, porque a potência hidráulica que a bomba fornece para elevar a água está ligada à massa que sobe por segundo. A relação entre vazão volumétrica Q, densidade \rho e vazão mássica \dot{m} é:
\dot{m}=\rho\,Q.
Explicando as variáveis: \dot{m} é massa por unidade de tempo (kg/s), \rho é a densidade do fluido (kg/m^3) e Q é a vazão volumétrica (m^3/s). Para água, usamos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão). Então
\dot{m}=1000\cdot 0{,}1 = 100\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação em linguagem simples: a bomba está levantando 100 quilogramas de água por segundo.

Passo 3

Agora calculamos a potência útil (potência hidráulica) necessária somente para elevar a água em \Delta z, desprezando perdas e variações cinéticas. A potência hidráulica associada ao ganho de energia potencial por segundo é
\dot{W}_{\rm hyd}=\dot{m}\,g\,\Delta z,
onde g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}). Substituindo:
\dot{W}_{\rm hyd}=100\cdot 9{,}81\cdot 20 = 19\,620\\ \mathrm{W} = 19{,}62\\ \mathrm{kW}.
Comentário amigável: isso significa que, idealmente (sem perdas), a bomba precisa fornecer cerca de 19{,}62\\ \mathrm{kW} para elevar a água na taxa dada.

Passo 4

Definição de eficiência (rendimento) da bomba: é a razão entre a potência útil entregue ao fluido e a potência elétrica que a bomba consome. Em fórmula:
\eta=\frac{\dot{W}_{\rm hyd}}{P_{\rm el}}.
Substituindo os valores (atenção às unidades: ambos em kW):
\eta=\frac{19{,}62\\ \mathrm{kW}}{25\\ \mathrm{kW}}=0{,}7848\approx 0{,}785.
Convertendo para porcentagem:
\eta \approx 78{,}5\%.
Interpretação: a bomba transforma cerca de 78{,}5\% da energia elétrica em energia hidráulica útil; o resto se perde (aquecimento, motor, etc.).

Passo 5

Agora a diferença de pressão entre a entrada e a saída da bomba. Quando elevamos o fluido em \Delta z sem perdas e sem variação de velocidade, a variação de pressão está relacionada ao “head” pela fórmula
\Delta P=\rho\,g\,\Delta z.
(escolhemos a mesma \rho e g de antes). Calculando:
\Delta P = 1000\cdot 9{,}81\cdot 20 = 196\,200\\ \mathrm{Pa}.
É conveniente também expressar em kilopascais:
\Delta P = 196{,}2\\ \mathrm{kPa}.
Verificação rápida (checando consistência): a potência hidráulica também pode ser escrita como \dot{W}_{\rm hyd}=\Delta P\cdot Q. Aqui \Delta P\cdot Q = 196\,200\cdot 0{,}1 = 19\,620\\ \mathrm{W}, que bate com o cálculo anterior.

Passo 6

Resumo prático e dica para a prova: sempre converta vazão para \mathrm{m^3/s}, calcule \dot{m}=\rho Q, depois \dot{W}_{\rm hyd}=\dot{m} g \Delta z ou diretamente \dot{W}_{\rm hyd}=\Delta P\cdot Q quando souber o \Delta P. A eficiência vem por divisão simples entre potência útil e potência fornecida ao equipamento.

Resposta

\eta = 78{,}5\%
\Delta P = 196{,}2\\ \mathrm{kPa}

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