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Uma turbina de expansão de vapor é usada para acionar um gerador elétrico. O vapor de entrada na turbina escoa por um duto de 10 cm de diâmetro com vazão de 2,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} a 600^{\circ} \mathrm{C} e 1000 kPa . O vapor de saída está a 400^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa , sendo descarregado em um duto com 25 cm de diâmetro. Qual é a potência que se espera obter nessa turbina, sabendo que ela opera de forma essencialmente adiabática?

Passo 1

O enunciado pede a potência esperada de uma turbina de expansão que recebe vapor com as seguintes condições:
  • Vazão mássica: \dot{m}=2,5\\ \mathrm{kg/s}.
  • Entrada (estado 1): T_1=600^\circ\mathrm{C}, p_1=1000\\ \mathrm{kPa}.
  • Saída (estado 2): T_2=400^\circ\mathrm{C}, p_2=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Duto de entrada: diâmetro D_1=10\\ \mathrm{cm}.
  • Duto de saída: diâmetro D_2=25\\ \mathrm{cm}.
    O enunciado diz que a turbina opera de forma essencialmente adiabática. A pergunta é: qual é a potência que se espera obter?

Passo 2

Vamos escrever a equação de energia para um escoamento estacionário unidimensional (primeira lei para volume de controle em regime permanente). A forma conveniente é (sinal de trabalho positivo quando realizado pelo sistema):
\dot{W}_{\text{turb}} = \dot{m}\left(h_1 - h_2 + \frac{V_1^2 - V_2^2}{2} + g(z_1 - z_2)\right) + \dot{Q},
onde:
  • \dot{W}_{\text{turb}} é a potência útil (taxa de trabalho) entregue pela turbina (W),
  • \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}),
  • h_1,h_2 são as entalpias específicas na entrada e saída ( \mathrm{kJ/kg} ou \mathrm{J/kg}),
  • V_1,V_2 são as velocidades médias do fluido na entrada/saída ( \mathrm{m/s}),
  • z_1,z_2 são alturas (m) (energia potencial),
  • g aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • \dot{Q} é a taxa de calor transferida (W).
Explicando didaticamente:
  • A entalpia h representa a energia interna mais p v por unidade de massa; em escoamentos de turbina a variação de entalpia é a principal fonte de energia convertida em trabalho.
  • O termo \tfrac{V^2}{2} é a energia cinética por unidade de massa; normalmente é menor que a variação de entalpia mas vamos checar.
  • O termo g\Delta z é energia potencial por unidade de massa (geralmente desprezível se não houver grandes diferenças de altura).
  • Para um processo essencialmente adiabático, \dot{Q}\approx 0.

Passo 3

Adotar hipóteses práticas para simplificar (com justificativa que será verificada):
  1. Processo adiabático: \dot{Q}=0 (dado).
  2. Diferença de altura desprezível: g(z_1-z_2)\approx 0 (nenhuma informação de altura no enunciado).
  3. Vamos calcular inicialmente a potência considerando apenas a variação de entalpia:
\dot{W}_{\text{turb}}\approx \dot{m}(h_1-h_2).
Depois avaliamos o termo cinético \tfrac{V_1^2-V_2^2}{2} para ver se é realmente pequeno e, se necessário, fazemos a correção.

Passo 4

Precisamos dos valores de entalpia específica h nos estados fornecidos. Peguei os valores nas tabelas de vapor (tabelas de vapor superaquecido / steam tables). Os números usados (extraídos das tabelas padrão) são:
  • Para p_1=1000\\ \mathrm{kPa} e T_1=600^\circ\mathrm{C}: h_1 \approx 3663\\ \mathrm{kJ/kg} e volume específico v_1 \approx 0,25795\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Para p_2=100\\ \mathrm{kPa} e T_2=400^\circ\mathrm{C}: h_2 \approx 3214\\ \mathrm{kJ/kg} e volume específico v_2 \approx 2{,}5095\\ \mathrm{m^3/kg}.
Comentário sobre as leituras: esses h e v foram lidos em uma tabela de vapor superaquecido padrão (valores típicos usados em exercícios); os números são aproximados mas adequados para estimativa de potência em provas.

Passo 5

Calcular a potência considerando somente a variação de entalpia:
\Delta h = h_1 - h_2 \approx 3663 - 3214 = 449\\ \mathrm{kJ/kg}.
Converter para \mathrm{W} usando \dot{m}:
\dot{W}_{\text{turb,\,enta}} = \dot{m}\,\Delta h = 2{,}5\\ \mathrm{kg/s}\times 449\\ \mathrm{kJ/kg} = 2{,}5\times 449\\ \mathrm{kW}.
\dot{W}_{\text{turb,\,enta}} \approx 1122{,}5\\ \mathrm{kW} \approx 1{,}123\\ \mathrm{MW}.
Observação: aqui transformei \mathrm{kJ/s} em \mathrm{kW} diretamente ( 1\\ \mathrm{kJ/s}=1\\ \mathrm{kW}).

Passo 6

Agora avaliar o termo cinético para verificar a correção. Primeiro calcular as velocidades médias a partir dos volumes específicos (peguei v_1 e v_2 das mesmas tabelas citadas):
  • Vazão volumétrica na entrada: Q_1=\dot{m}\,v_1 = 2{,}5\times 0{,}25795 \approx 0{,}6449\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área do duto de entrada: A_1=\pi (D_1/2)^2=\pi(0{,}10/2)^2=\pi(0{,}05)^2\approx 7{,}85398\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média na entrada:
V_1=\frac{Q_1}{A_1}\approx\frac{0{,}6449}{7{,}85398\times10^{-3}}\approx 82{,}17\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão volumétrica na saída: Q_2=\dot{m}\,v_2 = 2{,}5\times 2{,}5095 \approx 6{,}2738\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área do duto de saída: A_2=\pi(0{,}25/2)^2=\pi(0{,}125)^2\approx 0{,}0490874\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média na saída:
V_2=\frac{Q_2}{A_2}\approx\frac{6{,}2738}{0{,}0490874}\approx 127{,}80\\ \mathrm{m/s}.
Calcular a variação de energia cinética por unidade de massa:
\Delta\left(\tfrac{V^2}{2}\right)=\frac{V_1^2-V_2^2}{2}=\frac{82{,}17^2-127{,}80^2}{2}\approx -4{,}795\\ \mathrm{kJ/kg}.
Observação: resultado em \mathrm{J/kg} convertido para \mathrm{kJ/kg}.
Agora incorporar a correção cinética:
\dot{W}_{\text{turb}}=\dot{m}\left(\Delta h + \Delta\left(\tfrac{V^2}{2}\right)\right) =2{,}5\left(449 - 4{,}795\right)\\ \mathrm{kW}
\dot{W}_{\text{turb}}\approx 2{,}5\times 444{,}205\\ \mathrm{kW}\approx 1110{,}5125\\ \mathrm{kW}\approx 1{,}111\\ \mathrm{MW}.
Comparação: a correção cinética reduziu a potência em cerca de \tfrac{4{,}795}{449}\approx 1{,}07\%. Logo, desprezar o termo cinético daria um valor muito próximo; incluir a correção dá resposta mais precisa.

Passo 7

Conclusão e interpretação: com os valores de entalpia e volumes específicos extraídos das tabelas de vapor, a potência útil esperada da turbina é cerca de 1{,}11\\ \mathrm{MW}. A principal contribuição vem da queda de entalpia entre entrada e saída; a correção por energia cinética é pequena (~5 kJ/kg) e a energia potencial foi desprezada por falta de diferença de altura no enunciado.

Resposta

\dot{W}_{\text{turb}}\approx 1{,}11\\ \mathrm{MW}

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