Um secador é utilizado para secar cenouras em cubos. O produto entra no secador com
de umidade a
. O ar usado na secagem entra com a temperatura de
após ser aquecido a partir do ambiente, com umidade relativa de
e temperatura de
. Assuma que o produto deixa o secador na temperatura de bulbo úmido do ar de entrada, e que o calor específico do sólido seja
. O ar deixa o secador
acima da temperatura do produto final. Considerando que a vazão do ar de entrada no secador seja 700 kg ar seco/ h , determine a
umidade relativa com a qual o ar de secagem deixa o secador. Considere desprezível o calor perdido na secagem.
umidade relativa com a qual o ar de secagem deixa o secador. Considere desprezível o calor perdido na secagem.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados numéricos e pedidos (tudo especificado):
- Produto entra com umidade de
(fração em base úmida) e temperatura . - Ar ambiente:
e umidade relativa . - Esse ar é aquecido (sem alterar sua razão de mistura
) até e entra no secador. - Assuma que o produto sai do secador à temperatura de bulbo úmido do ar de entrada. Ou seja,
. - O ar sai do secador
acima da temperatura do produto final. Ou seja, . - Calor específico do sólido (cenoura, referente à massa de sólidos secos)
. - Vazão de ar seco de entrada:
. - Despreze perdas de calor para o ambiente.
- Pedido: determinar a umidade relativa com a qual o ar de secagem sai do secador, isto é,
.
Observações importantes sobre informações não fornecidas:
- O enunciado não informa a vazão de produto (nem a umidade final do produto). Para que a equação energética feche precisamos de uma hipótese. Mais adiante eu explico a hipótese que adotarei e por que ela permite resolver o problema de forma única.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Pressão de vapor de saturação (fórmula de Tetens, boa precisão para a faixa de temperatura aqui):
Isto me dá a pressão de vapor saturado a uma temperatura
.
- Razão de mistura (ou razão de umidade)
— massa de vapor de água por massa de ar seco:
onde
é a pressão parcial do vapor e
a pressão atmosférica (vou usar
).
- Relação entre pressão parcial e umidade relativa:
onde
é a temperatura de bulbo seco (temperatura do ar).
- Entalpia específica do ar úmido (aproximação usual):
onde
é calor específico do ar seco (
),
é calor específico do vapor d’água (
) e
é o calor latente de vaporização (usar valor aproximado dependente da temperatura; eu o avaliarei na região de interesse).
- Equação da saturação adiabática (para encontrar a temperatura de bulbo úmido aproximada): ao saturar adiabaticamente o ar até
,
onde
é a razão de mistura na saturação a
. Esta é a forma prática e comum para achar
quando se conhece
e
(estou desprezando os termos com
por simplicidade; isso é comum e dá boa precisão).
Vou calcular passo a passo cada uma dessas quantidades com números do enunciado.
Passo 3
Calcular a razão de umidade do ar antes do aquecimento (a partir das condições do ambiente) e manter essa
ao aquecer o ar até
.
- Primeiro a pressão de vapor de saturação a
:
- Pressão parcial do vapor no ar ambiente (RH
):
- Razão de mistura
(permanece a mesma após aquecimento sensível):
Portanto o ar que entra no secador (após aquecimento até
) tem
.
Passo 4
Calcular a temperatura de bulbo úmido do ar de entrada (
), solução da equação adiabática aproximada:
Aqui
,
. Vou usar
e, para
, uma aproximação dependente da temperatura. Uma expressão prática é
com
em
. Como
está entre 30 e
, avalio
na região de
mais adiante; para a iteração usarei
.
Procedimento (iteração simples, mostrando raciocínio):
- Defino função para
. - Reescrevo a equação como
Faço tentativas numéricas rápidas:
- Teste
: calculo . O lado direito . Os dois lados quase se igualam.
Ajustando finamente a iteração (mostro só o passo final): o ponto de equilíbrio fica em torno de
Conclusão deste passo: o produto sai com
Passo 5
Determinar a temperatura de saída do ar:
Agora vou montar o balanço de energia para o secador (por unidade de massa de ar seco, depois multiplicar por
se preciso). Constantes usadas:
Para
(calor latente) usei a aproximação em torno da região de operação e adotei
Entalpias do ar por kg de ar seco:
Calculo
numericamente:
Compute stepwise:
Logo
Entalpia de saída em função de
:
Calculos:
Portanto
A diferença de entalpia (energia liberada pelo ar por kg de ar seco) é:
Passo 6
Balanço de massa de água e energia entre ar e produto — hipótese necessária e razoável:
Como o enunciado não fornece a vazão do produto nem a umidade final, para ter solução única adotarei a hipótese prática que simplifica o problema e é comum em exercícios teóricos: suponho que o produto é secado até um teor final desprezível (ou seja, a água inicial do produto é totalmente evaporada). Esta hipótese permite determinar de forma única a quantidade de água evaporada e, consequentemente, a umidade do ar de saída. (Se o problema real exigisse um teor final específico, precisaríamos desse dado.)
Com essa hipótese:
- Para cada kg de sólidos secos, a água inicial é: como o produto tem
umidade em base úmida, para de sólidos secos a massa total do produto é , então a água inicial por kg de sólidos secos é . - Chamemos
a vazão de sólidos secos (kg sólido seco/h). Então água evaporada total é (kg/h). - Essa água passa para o ar: balanço de massa de água entre ar e produto dá
Reescrevendo por unidade de ar seco (dividindo por
):
Energeticamente, a energia perdida pelo ar por unidade de ar seco (
calculada no Passo 5) é usada para aquecer os sólidos secos e vaporizar a água. Por unidade de ar seco:
Factorizando
e usando a relação da massa de água acima para eliminar
, obtemos:
Esta é uma equação para
(já que
depende de
).
Agora substituo valores numéricos:
-
. -
então . -
. -
(valor adotado).
Logo o fator entre parênteses:
A equação que liga
e
é:
Mas recorde que
(do Passo 5). Então:
Agora resolve-se para
. Desenvolvendo:
Calculo do termo constante:
.
Somando os termos em
:
Portanto
(Observação: os valores numéricos foram arredondados ao longo dos passos; o valor final tem precisão adequada para engenharia.)
Passo 7
Converter
para umidade relativa
à temperatura do ar de saída
.
- Primeiro obter a pressão parcial do vapor na saída a partir de
:
Substituindo
e
:
- Agora saturação a
:
- Finalmente a umidade relativa de saída: