Um secador é utilizado para secar cenouras em cubos. O produto entra no secador com 60 \% de umidade a 25^{\circ} \mathrm{C}. O ar usado na secagem entra com a temperatura de 120^{\circ} \mathrm{C} após ser aquecido a partir do ambiente, com umidade relativa de 60 \% e temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Assuma que o produto deixa o secador na temperatura de bulbo úmido do ar de entrada, e que o calor específico do sólido seja 2 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}. O ar deixa o secador 10^{\circ} \mathrm{C} acima da temperatura do produto final. Considerando que a vazão do ar de entrada no secador seja 700 kg ar seco/ h , determine a
umidade relativa com a qual o ar de secagem deixa o secador. Considere desprezível o calor perdido na secagem.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados numéricos e pedidos (tudo especificado):
  • Produto entra com umidade de 60\% (fração em base úmida) e temperatura 25^\circ\mathrm{C}.
  • Ar ambiente: T_{\text{amb}}=20^\circ\mathrm{C} e umidade relativa \mathrm{RH}_{\text{amb}}=60\%.
  • Esse ar é aquecido (sem alterar sua razão de mistura w) até T_{\text{ar,in}}=120^\circ\mathrm{C} e entra no secador.
  • Assuma que o produto sai do secador à temperatura de bulbo úmido do ar de entrada. Ou seja, T_{\text{prod,out}} = T_{wb,\text{ar,in}}.
  • O ar sai do secador 10^\circ\mathrm{C} acima da temperatura do produto final. Ou seja, T_{\text{ar,out}} = T_{\text{prod,out}} + 10^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do sólido (cenoura, referente à massa de sólidos secos) c_{s}=2\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot^\circ C)}.
  • Vazão de ar seco de entrada: \dot{m}_{a}=700\\ \mathrm{kg\\ ar\\ seco/h}.
  • Despreze perdas de calor para o ambiente.
  • Pedido: determinar a umidade relativa com a qual o ar de secagem sai do secador, isto é, \mathrm{RH}_{\text{out}}.
Observações importantes sobre informações não fornecidas:
  • O enunciado não informa a vazão de produto (nem a umidade final do produto). Para que a equação energética feche precisamos de uma hipótese. Mais adiante eu explico a hipótese que adotarei e por que ela permite resolver o problema de forma única.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  1. Pressão de vapor de saturação (fórmula de Tetens, boa precisão para a faixa de temperatura aqui):
p_{sat}(T)=0{,}61078\exp\!\Big(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\Big)\\ \text{(kPa)},\quad T\\ \text{em }^\circ\mathrm{C}.
Isto me dá a pressão de vapor saturado a uma temperatura T.
  1. Razão de mistura (ou razão de umidade) w — massa de vapor de água por massa de ar seco:
w=\frac{0{,}622\,p_v}{p_{atm}-p_v},
onde p_v é a pressão parcial do vapor e p_{atm} a pressão atmosférica (vou usar p_{atm}=101{,}325\\ \text{kPa}).
  1. Relação entre pressão parcial e umidade relativa:
\mathrm{RH}=\frac{p_v}{p_{sat}(T_{db})},
onde T_{db} é a temperatura de bulbo seco (temperatura do ar).
  1. Entalpia específica do ar úmido (aproximação usual):
h=c_{pa}T + w\big(L + c_{pw}T\big),
onde c_{pa} é calor específico do ar seco ( 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), c_{pw} é calor específico do vapor d’água ( \approx 1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) e L é o calor latente de vaporização (usar valor aproximado dependente da temperatura; eu o avaliarei na região de interesse).
  1. Equação da saturação adiabática (para encontrar a temperatura de bulbo úmido aproximada): ao saturar adiabaticamente o ar até T_{wb},
c_{pa}(T_{db}-T_{wb}) \approx (w_{s}(T_{wb})-w)\,L,
onde w_s(T_{wb}) é a razão de mistura na saturação a T_{wb}. Esta é a forma prática e comum para achar T_{wb} quando se conhece T_{db} e w (estou desprezando os termos com c_{pw} por simplicidade; isso é comum e dá boa precisão).
Vou calcular passo a passo cada uma dessas quantidades com números do enunciado.

Passo 3

Calcular a razão de umidade do ar antes do aquecimento (a partir das condições do ambiente) e manter essa w ao aquecer o ar até 120^\circ\mathrm{C}.
  • Primeiro a pressão de vapor de saturação a 20^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(20)=0{,}61078\exp\!\Big(\frac{17{,}27\cdot 20}{20+237{,}3}\Big)\approx 2{,}338\\ \text{kPa}.
  • Pressão parcial do vapor no ar ambiente (RH 60\%):
p_v = 0{,}60\cdot p_{sat}(20)\approx 0{,}60\cdot 2{,}338=1{,}403\\ \text{kPa}.
  • Razão de mistura w (permanece a mesma após aquecimento sensível):
w=\frac{0{,}622\cdot 1{,}403}{101{,}325-1{,}403}\approx 0{,}00873\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.
Portanto o ar que entra no secador (após aquecimento até 120^\circ\mathrm{C}) tem w_{\text{in}}=0{,}00873.

Passo 4

Calcular a temperatura de bulbo úmido do ar de entrada ( T_{wb}), solução da equação adiabática aproximada:
c_{pa}(T_{db}-T_{wb}) = \big(w_s(T_{wb}) - w\big)\,L.
Aqui T_{db}=120^\circ\mathrm{C}, w=0{,}00873. Vou usar c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e, para L, uma aproximação dependente da temperatura. Uma expressão prática é
L(T)\approx 2501 - 2{,}361\,T\\ \\ (\mathrm{kJ/kg}),
com T em ^\circ\mathrm{C}. Como T_{wb} está entre 30 e 50^\circ\mathrm{C}, avalio L na região de T\approx 37^\circ\mathrm{C} mais adiante; para a iteração usarei L\approx 2{,}414\\ \times 10^3\\ \mathrm{kJ/kg}.
Procedimento (iteração simples, mostrando raciocínio):
  • Defino função para w_s(T)=0{,}622\,p_{sat}(T)/(101{,}325-p_{sat}(T)).
  • Reescrevo a equação como
w_s(T_{wb}) = w + \frac{c_{pa}(T_{db}-T_{wb})}{L}.
Faço tentativas numéricas rápidas:
  • Teste T_{wb}=37^\circ\mathrm{C}: calculo p_{sat}(37)\approx 6{,}26\\ \text{kPa} \Rightarrow w_s(37)\approx 0{,}0410. O lado direito \,w + c_{pa}(120-37)/L \approx 0{,}00873 + 1{,}005\cdot83/2414 \approx 0{,}0421. Os dois lados quase se igualam.
    Ajustando finamente a iteração (mostro só o passo final): o ponto de equilíbrio fica em torno de
T_{wb}\approx 37{,}3^\circ\mathrm{C}.
Conclusão deste passo: o produto sai com T_{\text{prod,out}} = T_{wb,\text{ar,in}} \approx 37{,}3^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Determinar a temperatura de saída do ar:
T_{\text{ar,out}} = T_{\text{prod,out}} + 10^\circ\mathrm{C} \approx 37{,}3 + 10 = 47{,}3^\circ\mathrm{C}.
Agora vou montar o balanço de energia para o secador (por unidade de massa de ar seco, depois multiplicar por \dot m_a se preciso). Constantes usadas:
c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad c_{pw}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Para L (calor latente) usei a aproximação em torno da região de operação e adotei
L\approx 2{,}414\times 10^{3}\\ \mathrm{kJ/kg}.
Entalpias do ar por kg de ar seco:
h_{\text{in}} = c_{pa}T_{\text{in}} + w_{\text{in}}\big(L + c_{pw}T_{\text{in}}\big),
h_{\text{out}} = c_{pa}T_{\text{out}} + w_{\text{out}}\big(L + c_{pw}T_{\text{out}}\big).
Calculo h_{\text{in}} numericamente:
h_{\text{in}} = 1{,}005\cdot 120 + 0{,}00873\big(2414 + 1{,}86\cdot 120\big).
Compute stepwise:
1{,}005\cdot 120 = 120{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},
1{,}86\cdot 120 = 223{,}2\quad\Rightarrow\quad L + c_{pw}T_{\text{in}} = 2414 + 223{,}2 = 2637{,}2,
0{,}00873\cdot 2637{,}2 \approx 23{,}03\\ \mathrm{kJ/kg}.
Logo
h_{\text{in}}\approx 120{,}6 + 23{,}03 = 143{,}63\\ \mathrm{kJ/(kg\\ ar\\ seco)}.
Entalpia de saída em função de w_{\text{out}}:
h_{\text{out}} = 1{,}005\cdot 47{,}3 + w_{\text{out}}\big(2414 + 1{,}86\cdot 47{,}3\big).
Calculos:
1{,}005\cdot 47{,}3 \approx 47{,}54,
1{,}86\cdot 47{,}3 = 87{,}98\quad\Rightarrow\quad L + c_{pw}T_{\text{out}} = 2414 + 87{,}98 = 2501{,}98.
Portanto
h_{\text{out}} = 47{,}54 + w_{\text{out}}\cdot 2501{,}98.
A diferença de entalpia (energia liberada pelo ar por kg de ar seco) é:
\Delta h_{a} = h_{\text{in}} - h_{\text{out}} = 143{,}63 - \big(47{,}54 + 2501{,}98\,w_{\text{out}}\big) = 96{,}09 - 2501{,}98\,w_{\text{out}}.

Passo 6

Balanço de massa de água e energia entre ar e produto — hipótese necessária e razoável:
Como o enunciado não fornece a vazão do produto nem a umidade final, para ter solução única adotarei a hipótese prática que simplifica o problema e é comum em exercícios teóricos: suponho que o produto é secado até um teor final desprezível (ou seja, a água inicial do produto é totalmente evaporada). Esta hipótese permite determinar de forma única a quantidade de água evaporada e, consequentemente, a umidade do ar de saída. (Se o problema real exigisse um teor final específico, precisaríamos desse dado.)
Com essa hipótese:
  • Para cada kg de sólidos secos, a água inicial é: como o produto tem 60\% umidade em base úmida, para 1\\ \mathrm{kg} de sólidos secos a massa total do produto é 1/0{,}4=2{,}5\\ \mathrm{kg}, então a água inicial por kg de sólidos secos é 2{,}5-1 = 1{,}5\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ sólido\\ seco}áó.
  • Chamemos \dot m_s a vazão de sólidos secos (kg sólido seco/h). Então água evaporada total é 1{,}5\,\dot m_s (kg/h).
  • Essa água passa para o ar: balanço de massa de água entre ar e produto dá
\dot m_a\,(w_{\text{out}} - w_{\text{in}}) = 1{,}5\,\dot m_s.
Reescrevendo por unidade de ar seco (dividindo por \dot m_a):
w_{\text{out}} - w_{\text{in}} = \frac{1{,}5\,\dot m_s}{\dot m_a}.
Energeticamente, a energia perdida pelo ar por unidade de ar seco ( \Delta h_a calculada no Passo 5) é usada para aquecer os sólidos secos e vaporizar a água. Por unidade de ar seco:
\Delta h_a = \frac{1}{\dot m_a}\Big(\dot m_s c_s (T_{\text{prod,out}}-T_{\text{prod,in}}) + 1{,}5\,\dot m_s\,L\Big).
Factorizando \dot m_s e usando a relação da massa de água acima para eliminar \dot m_s/\dot m_a, obtemos:
\Delta h_a = (w_{\text{out}} - w_{\text{in}})\left(\frac{c_s (T_{\text{prod,out}}-T_{\text{prod,in}})}{1{,}5} + L\right).
Esta é uma equação para w_{\text{out}} (já que \Delta h_a depende de w_{\text{out}}).
Agora substituo valores numéricos:
  • T_{\text{prod,out}}-T_{\text{prod,in}} = 37{,}3 - 25 = 12{,}3^\circ\mathrm{C}.
  • c_s = 2\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot^\circ C)} então c_s\Delta T = 2\cdot 12{,}3 = 24{,}6\\ \mathrm{kJ/kg\\ sólido\\ seco}ó.
  • \dfrac{c_s\Delta T}{1{,}5} = \dfrac{24{,}6}{1{,}5} = 16{,}4\\ \mathrm{kJ/kg\\ água\\ evaporada\\ correspondente}á.
  • L\approx 2414\\ \mathrm{kJ/kg} (valor adotado).
Logo o fator entre parênteses:
\frac{c_s\Delta T}{1{,}5} + L \approx 16{,}4 + 2414 = 2430{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
A equação que liga w_{\text{out}} e \Delta h_a é:
\Delta h_a = (w_{\text{out}} - 0{,}00873)\cdot 2430{,}4.
Mas recorde que \Delta h_a = 96{,}09 - 2501{,}98\,w_{\text{out}} (do Passo 5). Então:
96{,}09 - 2501{,}98\,w_{\text{out}} = (w_{\text{out}} - 0{,}00873)\cdot 2430{,}4.
Agora resolve-se para w_{\text{out}}. Desenvolvendo:
96{,}09 - 2501{,}98\,w_{\text{out}} = 2430{,}4\,w_{\text{out}} - 2430{,}4\cdot 0{,}00873.
Calculo do termo constante: 2430{,}4\cdot 0{,}00873 \approx 21{,}21.
Somando os termos em w_{\text{out}}:
96{,}09 + 21{,}21 = 2430{,}4\,w_{\text{out}} + 2501{,}98\,w_{\text{out}},
117{,}30 = 4932{,}38\,w_{\text{out}}.
Portanto
w_{\text{out}} \approx \frac{117{,}30}{4932{,}38}\approx 0{,}02379\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.
(Observação: os valores numéricos foram arredondados ao longo dos passos; o valor final tem precisão adequada para engenharia.)

Passo 7

Converter w_{\text{out}} para umidade relativa \mathrm{RH}_{\text{out}} à temperatura do ar de saída T_{\text{ar,out}}=47{,}3^\circ\mathrm{C}.
  • Primeiro obter a pressão parcial do vapor na saída a partir de w:
w_{\text{out}} = \frac{0{,}622\,p_{v,\text{out}}}{p_{atm} - p_{v,\text{out}}} \quad\Longrightarrow\quad p_{v,\text{out}} = \frac{w_{\text{out}}\,p_{atm}}{0{,}622 + w_{\text{out}}}.
Substituindo w_{\text{out}}=0{,}02379 e p_{atm}=101{,}325\\ \text{kPa}:
p_{v,\text{out}} \approx \frac{0{,}02379\cdot 101{,}325}{0{,}622 + 0{,}02379}\approx 3{,}732\\ \text{kPa}.
  • Agora saturação a 47{,}3^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(47{,}3)\approx 10{,}79\\ \text{kPa}\quad(\text{pela fórmula de Tetens}).ó
  • Finalmente a umidade relativa de saída:
\mathrm{RH}_{\text{out}} = \frac{p_{v,\text{out}}}{p_{sat}(47{,}3)} \approx \frac{3{,}732}{10{,}79} \approx 0{,}346 \equiv 34{,}6\%.

Resposta

34{,}6\%

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