Calcule a quantidade de calor que é necessário fornecer a 5 \mathrm{~m}^{3} de ar úmido a 30 { }^{\circ} \mathrm{C} e com uma umidade relativa de 60 \% para aumentar a sua temperatura em 20 { }^{\circ} \mathrm{C}. Determine também a umidade relativa do ar após este aquecimento.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se a quantidade de calor necessária para aquecer \,5\\ \mathrm{m}^3 de ar úmido de 30\,^\circ\mathrm{C} por \,20\,^\circ\mathrm{C}.
  • Pede-se também a umidade relativa do ar após esse aquecimento.
Dados fornecidos (vou listar e também indicar julgamentos/assunções necessárias):
  • Volume: \,V = 5\\ \mathrm{m}^3.
  • Temperatura inicial: \,T_1 = 30\,^\circ\mathrm{C} = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Aumento de temperatura: \Delta T = 20\,^\circ\mathrm{C}. Logo temperatura final \,T_2 = 50\,^\circ\mathrm{C} = 323{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Umidade relativa inicial: \,\varphi_1 = 60\% = 0{,}60.
  • Vou assumir pressão atmosférica padrão: \,p = 1{,}01325\times10^5\\ \mathrm{Pa} = 101{,}325\\ \mathrm{kPa} (o enunciado não especificou pressão).
  • Valores constantes termofísicos (valores típicos que usamos em problemas de ar úmido):
    • Constante dos gases secos: \,R_d = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Constante dos vapores de água: \,R_v = 461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Calor específico do ar seco (à pressão constante): \,c_{p,a} = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Calor específico do vapor d’água (aprox. à pressão constante): \,c_{p,v} = 1860\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Pressão de saturação do vapor d’água (valores obtidos em tabela/curva de vapor):
    • À \,30\,^\circ\mathrm{C}: \,p_{sat}(30^\circ\mathrm{C}) = 4{,}246\\ \mathrm{kPa} (valor de tabela).
    • À \,50\,^\circ\mathrm{C}: \,p_{sat}(50^\circ\mathrm{C}) = 12{,}352\\ \mathrm{kPa} (valor de tabela).
  • Observações sobre o processo: vou considerar que o volume de \,5\\ \mathrm{m}^3 é um recipiente fechado (volume fixo) contendo o ar úmido, de modo que ao aquecer a temperatura aumenta e as pressões parciais mudam conforme a lei dos gases ideais, mas a massa de ar seco e de vapor se mantém constante (não há entrada/saída de vapor nem condensação; vamos verificar se há condensação — mas aquecimento geralmente reduz RH, então não haverá condensação).

Passo 2

Encontrar a pressão parcial do vapor d’água inicial \,p_{v1} a partir da umidade relativa inicial:
  • Definição: a umidade relativa é a razão entre a pressão parcial do vapor e a pressão de saturação àquela temperatura:
\varphi_1 = \frac{p_{v1}}{p_{sat}(T_1)}.
  • Logo
p_{v1} = \varphi_1 \cdot p_{sat}(T_1).
  • Substituindo valores (tudo em kPa para leitura fácil):
p_{v1} = 0{,}60 \times 4{,}246\\ \mathrm{kPa} = 2{,}5476\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Calcular a razão de mistura (humidity ratio) \,w — massa de vapor por massa de ar seco — e explicar a fórmula:
  • Fórmula usada (proveniente do equilíbrio de pressões parciais e relações dos gases ideais):
w = 0{,}622\cdot\frac{p_v}{p - p_v},
onde:
  • \,p_v é a pressão parcial do vapor (em kPa),
  • \,p é a pressão total (atmosférica),
  • o fator 0{,}622 vem da razão das massas molares: R_d/R_v \approx 0{,}622.
  • Substituindo \,p_{v1} e p:
w = 0{,}622\cdot\frac{2{,}5476}{101{,}325 - 2{,}5476} = 0{,}622\cdot\frac{2{,}5476}{98{,}7774}.
  • Calculando numericamente:
w \approx 0{,}016039\\ \mathrm{kg\\ de\\ vapor / kg\\ de\\ ar\\ seco}.
Explicação curta: \,w nos diz quantos kg de vapor existem para cada kg de ar seco. Esse valor se conserva quando aquecemos, desde que não haja entrada/saída de vapor nem condensação.

Passo 4

Determinar as massas de ar seco ( m_d) e de vapor ( m_v) contidas nos \,5\\ \mathrm{m}^3 à condição inicial:
  • Para obter a massa de ar seco usamos a equação dos gases ideais aplicada ao ar seco (usar a pressão parcial do ar seco \,p_d = p - p_{v1}):
p_d = p - p_{v1} = 101{,}325\\ \mathrm{kPa} - 2{,}5476\\ \mathrm{kPa} = 98{,}7774\\ \mathrm{kPa}.
  • Converter para Pa quando for usar R_d em SI: p_d = 98{,}777{,}4\\ \mathrm{Pa}.
  • Equação dos gases ideais (forma para massa):
m_d = \frac{p_d\,V}{R_d\,T_1}.
  • Substituindo valores (usar Pa, m^3, J/kgK, K):
m_d = \frac{98{,}777{,}4\\ \mathrm{Pa}\times 5\\ \mathrm{m}^3}{287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times 303{,}15\\ \mathrm{K}}.
  • Calculando:
m_d \approx 5{,}6775\\ \mathrm{kg}.
  • A massa de vapor é obtida por m_v = w\cdot m_d:
m_v = 0{,}016039\times 5{,}6775 \approx 0{,}09106\\ \mathrm{kg}.
Resumo numérico:
  • \,m_d \approx 5{,}6775\\ \mathrm{kg}.
  • \,m_v \approx 0{,}09106\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular a quantidade de calor necessária para aquecer o sistema (soma das energias sensíveis do ar seco e do vapor):
  • Se não houver mudança de fase (não houve condensação — estamos aquecendo), o calor necessário é dado por
Q = \left(m_d\,c_{p,a} + m_v\,c_{p,v}\right)\Delta T,
onde:
  • \,c_{p,a} é o calor específico do ar seco (J/kgK),
  • \,c_{p,v} é o calor específico do vapor d’água (J/kgK),
  • \Delta T = T_2 - T_1 = 20\\ \mathrm{K}.
  • Substituindo números:
m_d\,c_{p,a} = 5{,}6775\times 1005 \approx 5705{,}89\\ \mathrm{J/K},
m_v\,c_{p,v} = 0{,}09106\times 1860 \approx 169{,}37\\ \mathrm{J/K}.
Soma:
m_d\,c_{p,a} + m_v\,c_{p,v} \approx 5875{,}26\\ \mathrm{J/K}.
  • Multiplicando por \Delta T = 20\\ \mathrm{K}:
Q \approx 5875{,}26 \times 20 \approx 117{,}505\\ \mathrm{J}.
  • Em unidades maiores, \,Q \approx 117{,}5\\ \mathrm{kJ}.
Observação didática: basicamente somamos a energia necessária para aquecer cada componente (ar seco e vapor) pelo aumento de temperatura. Não incluímos trabalho de expansão porque o volume é fixo (recipiente fechado) e pediram apenas calor fornecido para aumentar a temperatura do ar contido.

Passo 6

Verificar se houve condensação (checar se a pressão parcial do vapor a T_2 excede a pressão de saturação a T_2):
  • Como a massa de vapor permanece constante e o volume é fixo, a nova pressão parcial do vapor é dada pela lei dos gases (proporcional à temperatura):
p_{v2} = p_{v1}\cdot\frac{T_2}{T_1}.
  • Calculando:
p_{v2} = 2{,}5476\\ \mathrm{kPa}\times\frac{323{,}15}{303{,}15}\approx 2{,}716\\ \mathrm{kPa}.
  • Comparar com a pressão de saturação à 50\,^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(50^\circ\mathrm{C}) = 12{,}352\\ \mathrm{kPa}.
  • Conclusão: \,p_{v2} < p_{sat}(50^\circ\mathrm{C}), logo não houve condensação (o vapor ficou mais “seco” relativamente), como era de se esperar ao aquecer.

Passo 7

Calcular a umidade relativa final \,\varphi_2:
  • Definição:
\varphi_2 = \frac{p_{v2}}{p_{sat}(T_2)}.
  • Substituindo os valores calculados:
\varphi_2 = \frac{2{,}716\\ \mathrm{kPa}}{12{,}352\\ \mathrm{kPa}} \approx 0{,}2199.
  • Em porcentagem:
\varphi_2 \approx 21{,}99\% \approx 22\%.
Interpretação: ao aquecer o ar sem adicionar vapor, a capacidade do ar para reter vapor aumenta (a pressão de saturação sobe muito), então a umidade relativa cai bastante.

Resposta

Q \approx 117{,}5\\ \mathrm{kJ}
\varphi_2 \approx 22\%

Exercícios relacionados