[Seção 8.2] Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.
[9] y^2=x+1,0 <= x <= 3

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo x a curva definida por y^2 = x + 1, para 0 <= x <= 3. É um exercício de cálculo de área de superfície de revolução, em que precisamos usar a fórmula
S = integrala^b 2pi l|y(x)r| raiz1 + l(y'(x)r)^2,dx

Passo 2

Primeiro, expressamos y como função de x. Tomando o ramo positivo para a rotação, temos
y = raizx + 1
Então calculamos a derivada:
y' = 12raizx + 1

Passo 3

Agora montamos o integrando da fórmula:
1 + l(y'r)^2 = 1 + 14(x + 1) = 4(x + 1) + 14(x + 1) = 4x + 54(x + 1),
portanto
raiz1 + (y')^2 = raiz4x + 52raizx + 1
Logo,
2pi yraiz1 + (y')^2 = 2pi raizx + 1 cdot raiz4x + 52raizx + 1 = piraiz4x + 5

Passo 4

Reduzimos então a área à integral
S = integral0^3 piraiz4x + 5,dx
Para resolver, usamos a substituição u = 4x + 5, du = 4,dx, com limites u(0)=5 e u(3)=17:
S = pi4 integral5^17 u^1/2,du = pi4 cdot 23l[u^3/2r]5^17 = pi6l(17^3/2 - 5^3/2r)

Passo 5

Por fim, escrevendo 17^3/2=17raiz17 e 5^3/2=5raiz5, obtemos a forma exata da área.

Resposta

S = pi6l(17raiz17 - 5raiz5r).

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