[Seção 8.2] Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.
[11] y=cos (12 x), 0 <= x <= pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área exata da superfície gerada pela rotação da curva y=cosl(tfrac12xr) em torno do eixo x, para 0<= x<=pi. Vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução e precisar da derivada de y.

Passo 2

A derivada de y=cosl(tfrac12xr) é dada por derivação em cadeia:
y' = -sinl(tfrac12xr)cdottfrac12 = -tfrac12sinl(tfrac12xr)

Passo 3

A fórmula da área de superfície gerada pela rotação em torno do eixo x é
S = integrala^b 2pi,y,raiz1 + (y')^2,dx

Passo 4

Substituindo y e y' na fórmula temos
1 + (y')^2 = 1 + l(-tfrac12sintfracx2r)^2 = 1 + tfrac14sin^2tfracx2 = 4 + sin^2tfracx24, então
raiz1+(y')^2 = tfrac12raiz4 + sin^2tfracx2 Logo o integrando fica
2pi,y,raiz1+(y')^2 = 2picostfracx2cdottfrac12raiz4+sin^2tfracx2 = picostfracx2,raiz4+sin^2tfracx2 Então a área é
S = piintegral0^pi costfracx2,raiz4+sin^2tfracx2,dx

Passo 5

Fazemos a substituição u=sintfracx2, de modo que du=tfrac12costfracx2,dx ou costfracx2,dx=2,du. Os limites ficam de u(0)=0 a u(pi)=1. Assim
S = piintegral0^1 raiz4+u^2;2,du = 2piintegral0^1 raizu^2+4;du

Passo 6

Usamos a integral padrão
integralraizu^2+a^2,du = u2raizu^2+a^2 + a^22lnl(u+raizu^2+a^2r) + C, com a=2. Portanto
integral0^1raizu^2+4,du = l[tfracu2raizu^2+4 + 2lnl(u+raizu^2+4r)r]0^1 = raiz52 + 2ln1+raiz52

Passo 7

Multiplicando por 2pi obtemos a área final.

Resposta

S = piraiz5 + 4pi lnl(tfrac1+raiz52r)

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