[Seção 7.4] Calcule a integral.
[22] integral x^2+9 x^2+x+2x^2-9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional. Mais precisamente,
integral x^3 + 9x^2 + x + 2x^2 - 9,dx
O conteúdo principal aqui é a integração de frações racionais. Vamos usar divisão de polinômios para separar um polinômio mais simples da parte fracionária e depois aplicar frações parciais no termo remanescente.

Passo 2

Fazemos a divisão do numerador pelo denominador. Queremos escrever
x^3 + 9x^2 + x + 2 = (x^2 - 9),Q(x) + R(x),
onde Q(x) é um polinômio de grau 1 e R(x) é de grau menor que 2. Dividindo, obtemos
Q(x) = x + 9, R(x) = 10x + 83
Logo
x^3 + 9x^2 + x + 2x^2 - 9 = x + 9 + 10x + 83x^2 - 9

Passo 3

Agora decompondo o termo 10x + 83x^2 - 9. Como x^2 - 9 = (x-3)(x+3), escrevemos
10x + 83(x-3)(x+3) = Ax-3 + Bx+3
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+3)
10x + 83 = A(x+3) + B(x-3) = (A+B),x + (3A - 3B)
Igualando coeficientes:
A + B = 10, 3A - 3B = 83,
resolve-se
A = 1136, B = -536

Passo 4

Substituindo tudo de volta na integral:
integral x^3 + 9x^2 + x + 2x^2 - 9,dx = integral l(x + 9r),dx + integral 1136x-3,dx - integral 536x+3,dx
Integramos cada termo:
integral x,dx = x^22, integral 9,dx = 9x, integral 1x-3,dx = lnl|x-3r|, integral 1x+3,dx = lnl|x+3r|
Portanto,
integral x^3 + 9x^2 + x + 2x^2 - 9,dx = x^22 + 9x + 1136lnl|x-3r| - 536lnl|x+3r| + C

Resposta

boxed x^22 + 9x + 1136,lnl|x-3r| - 536,lnl|x+3r| + C

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