[Seção 7.4] Calcule a integral.
[21] integral 1(t^2-1)^2 d t

Passo 1

A questão pede pra calcular a integral indefinida integral 1(t^2-1)^2,dtO conteúdo aqui é integração de funções racionais por decomposição em frações parciais, e vamos precisar lembrar como integrar 1/(t-a) e 1/(t-a)^2.

Passo 2

Começamos escrevendo a fração racional como soma de frações simples:
1(t^2-1)^2 = At-1 + B(t-1)^2 + Ct+1 + D(t+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (t-1)^2(t+1)^2 e igualando coeficientes, obtemos o sistema
A+C=0,A+B-C+D=0,-A+2B-C-2D=0,-A+B+C+D=1
Resolvendo, achamos A=-tfrac14, B=tfrac14, C=tfrac14, D=tfrac14.

Passo 3

Substituímos na integral e separamos em quatro termos:
integral1(t^2-1)^2,dt=14integrall(-1t-1+1(t-1)^2+1t+1+1(t+1)^2r)dt
Agora usamos as integrais padrão:
integral1tpm1dt=ln|tpm1|,integral1(tpm1)^2dt=-1tpm1
Fica
14l(-ln|t-1|-1t-1+ln|t+1|-1t+1r)+C

Passo 4

Podemos juntar os logaritmos e reescrever os termos racionais de forma mais compacta:
ln|t+1|-ln|t-1|=lnl|t+1t-1r|,1t-1+1t+1=2tt^2-1
Assim chega-se ao resultado simplificado.
Resposta final acima simplificada e pronta para usar.

Resposta

14lnl|t+1t-1r|-t2,(t^2-1)+C

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