[Seção 7.4] Escreva a forma da decomposição em frações parciais da função. Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
[4-a] x^4-2 x^3+x^2+2 x-1x^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a forma da decomposição em frações parciais de
f(x)=x^4-2x^3+x^2+2x-1x^2-2x+1
O conteúdo é decomposição em frações parciais de funções racionais impróprias: primeiro fazemos divisão polinomial para separar a parte polinomial e depois decompomos a parte própria sobre fatores lineares repetidos.

Passo 2

Fazendo a divisão de ;x^4-2x^3+x^2+2x-1 por ;x^2-2x+1:
– O quociente é x^2, pois ;x^4/x^2=x^2.
– Multiplicando de volta: x^2,(x^2-2x+1)=x^4-2x^3+x^2.
– Subtraindo do numerador obtemos o resto 2x-1.
Logo
f(x)=x^2+2x-1,x^2-2x+1,

Passo 3

Observamos que
x^2-2x+1=(x-1)^2,
que é um fator linear repetido de multiplicidade 2. A fração própria
2x-1(x-1)^2
deve, portanto, ser decomposta na forma
Ax-1+B(x-1)^2,
com coeficientes A e B a determinar (mas não solicitados aqui).

Passo 4

Reunindo a parte polinomial com essa decomposição, a forma final é
f(x)=x^2+Ax-1+B(x-1)^2

Resposta

boxedf(x)=x^2+Ax-1+B(x-1)^2

Exercícios relacionados