A seção de choque diferencial por unidade de ângulo sólido
para espalhamento Thomson é dada por
em que
e
o é ângulo de espalhamento do fóton. Encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a seção de choque diferencial para o espalhamento Thomson. Então, basicamente, estamos lidando com como os fótons são espalhados por partículas carregadas (como elétrons) quando colidem com elas. A equação que a gente tem é:
Aqui, $ r_e $ é o raio clássico do elétron, que vale 2,818 femtômetros (fm), e $ \theta $ é o ângulo de espalhamento do fóton. O que precisamos encontrar é $ \frac{d\left(e^{\sigma_{Th}}\right)}{d \theta} $, ou seja, como essa seção de choque varia em função do ângulo $ \theta $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \frac{d\left(e^{\sigma_{Th}}\right)}{d \Omega} $. Essa expressão representa a seção de choque diferencial por unidade de ângulo sólido $ d\Omega $. O ângulo sólido é uma medida tridimensional de ângulo, e na nossa situação, como o espalhamento é simétrico em torno do eixo inicial, podemos simplificar usando coordenadas esféricas.
Sabemos que, em coordenadas esféricas, o ângulo sólido $ d\Omega $ é dado por:
Isso porque estamos considerando toda a rotação azimutal (o $ 2\pi $) e a variação no ângulo polar $ \theta $.
Passo 3
Agora, queremos relacionar $ \frac{d\left(e^{\sigma_{Th}}\right)}{d \Omega} $ com $ \frac{d\left(e^{\sigma_{Th}}\right)}{d \theta} $. Para isso, usamos a regra da cadeia da derivada:
Sabemos que $ \frac{d \Omega}{d \theta} = 2\pi \sin\theta $. Então, substituindo na equação acima:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. O 2 no denominador e o 2π se multiplicam:
Resposta
A derivada da seção de choque diferencial por ângulo $ \theta $ é: