Considere a seção transversal de um cabo coaxial com raios
e
. Existem correntes
antiparalelas uniformente distribuídas nos dois condutores. Calcule a intensidade do campo magnético para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cabo coaxial com três raios: $ a $, $ b $ e $ c $. Nesse cabo, tem duas correntes $ i $ que são antiparalelas e estão distribuídas de forma uniforme nos dois condutores. Nosso objetivo aqui é calcular a intensidade do campo magnético ($ B $) na região onde $ b < r < a $, ou seja, entre os raios $ b $ e $ a $. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère e entender como o campo magnético se comporta nessa configuração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Essa lei relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. A fórmula é:
Onde:
- $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ é a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado.
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.
- $ I_{enc} $ é a corrente total que passa pelo caminho.
Passo 3
Agora, vamos escolher um caminho para aplicar a Lei de Ampère. Como estamos lidando com um cabo coaxial, faz sentido escolher um caminho circular de raio $ r $ onde $ b < r < a $. Esse caminho está no meio entre os dois condutores.
Passo 4
Nesse caminho circular, o campo magnético $ B $ é constante em magnitude e perpendicular ao elemento de comprimento $ d\vec{l} $. Portanto, a integral se simplifica para:
Agora, precisamos determinar $ I_{enc} $, que é a corrente que está dentro do nosso caminho de raio $ r $.
Passo 5
Como as correntes são antiparalelas e distribuídas uniformemente nos condutores, a corrente total dentro do raio $ r $ será a parte da corrente $ i $ que está no condutor interno até o raio $ b $. Assumindo distribuição uniforme, a corrente dentro de $ r $ é proporcional à área:
Passo 6
Substituindo $ I_{enc} $ na equação da Lei de Ampère:
Resolvendo para $ B $:
Resposta
A intensidade do campo magnético para $ b < r < a $ é: