1. Definição e primeiras propriedades

Sejam X \subset \mathbb{R} um conjunto de números reais, f: X \rightarrow \mathbb{R} uma função real cujo domínio é X e a \in X^{\prime} um ponto de acumulação do conjunto X. Dizse que o número real L é limite de f(x) quando x tende para a, e escreve-se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L, quando, para todo \varepsilon>0 dado arbitrariamente, pode-se obter \delta>0 tal que se tem |f(x)-L|<\varepsilon sempre que x \in X e 0<|x-a|<\delta.

Simbolicamente:

\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L . \equiv \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 ; x \in X, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon

Passo 1

O enunciado fornece a definição epsilon-delta do limite: temos um conjunto X\subset\mathbb{R}, uma função f:X\to\mathbb{R} e um ponto de acumulação a\in X'. Está dado que
\lim_{x\to a} f(x)=L
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
O que vou fazer nos passos seguintes:
  • Explicar intimamente o que essa definição quer dizer, com linguagem simples e exemplos.
  • Mostrar propriedades básicas que costumam cair em prova: limiar de função constante, identidade, linear; unicidade do limite; operações algébricas (soma, produto, quociente); caracterização por sequências; ligação com continuidade.
  • Dar exemplos práticos com escolhas explícitas de \delta em função de \varepsilon (para treinar como fazer na prova).
    Não vou assumir que você conheça a teoria; vou desenvolver cada prova passo a passo.

Passo 2

Interpretação intuitiva da definição epsilon-delta (sem matemática difícil).
  • A afirmação “ \lim_{x\to a} f(x)=L” significa: posso forçar os valores de f(x) a ficarem arbitrariamente perto de L tomando x suficientemente próximo de a (mas diferente de a).
  • Formalmente: dado o “tolerância” desejada \varepsilon>0 em torno de L, existe uma “tolerância” \delta>0 em torno de a tal que, sempre que x estiver dentro do intervalo (a-\delta,a+\delta) mas x\neq a, então f(x) estará dentro do intervalo (L-\varepsilon,L+\varepsilon).
  • Visualização: imagina duas faixas horizontais em torno de L com altura \varepsilon — a definição garante que existe sempre uma faixa vertical em torno de a (com largura 2\delta) que, exceto pelo ponto a se necessário, é mapeada por f para dentro da faixa horizontal.

Passo 3

Consequência imediata: se \lim_{x\to a} f(x)=L então f é limitada em algum vizinho de a (exceto possivelmente em a mesmo).
Prova passo a passo:
  • Tome \varepsilon=1. Pela definição existe \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta implica |f(x)-L|<1.
  • Isso dá |f(x)| \le |L| + 1 sempre que 0<|x-a|<\delta.
  • Conclusão: existe um vizinho (o intervalo (a-\delta,a+\delta)) onde f está limitada por |L|+1, exceto possivelmente no próprio a.
Isso é útil quando, por exemplo, precisamos de um limite de produto e precisamos controlar um fator por ser limitado.

Passo 4

Unicidade do limite: se existirem L_1 e L_2 com \lim_{x\to a} f(x)=L_1 e \lim_{x\to a} f(x)=L_2, então L_1=L_2.
Prova completa:
  • Suponha, por contradição, que L_1\neq L_2. Então |L_1-L_2|>0.
  • Tome \varepsilon=\dfrac{|L_1-L_2|}{2}>0.
  • Pela definição, existe \delta_1>0 tal que 0<|x-a|<\delta_1 implica |f(x)-L_1|<\varepsilon.
  • Também existe \delta_2>0 tal que 0<|x-a|<\delta_2 implica |f(x)-L_2|<\varepsilon.
  • Como a é ponto de acumulação de X, existem pontos x\in X com 0<|x-a|<\min(\delta_1,\delta_2). Escolha um desses x.
  • Para esse x temos as duas desigualdades simultaneamente, então |L_1-L_2| \le |L_1-f(x)| + |f(x)-L_2| < \varepsilon+\varepsilon = 2\varepsilon = |L_1-L_2|,o que é impossível.
  • Portanto L_1=L_2. Ou seja, o limite, se existe, é único.

Passo 5

Limites simples com escolha direta de \delta.
(a) Função constante: se f(x)=c para todo x\in X, então \lim_{x\to a} f(x)=c.
Prova:
  • Dado \varepsilon>0, escolha qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1). Para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta temos |f(x)-c|=|c-c|=0<\varepsilon.
  • Logo o limite é c.
(b) Identidade: f(x)=x. Então \lim_{x\to a} x = a.
Prova:
  • Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon.
  • Se 0<|x-a|<\delta então |x-a|<\varepsilon, logo |f(x)-a|<\varepsilon.
  • Portanto o limite é a.
(c) Função linear: f(x)=m x + b. Então \lim_{x\to a} (m x + b)=m a + b.
Prova:
  • Dado \varepsilon>0.
  • Se m=0 reduz ao caso constante.
  • Se m\neq 0, escolha \delta=\dfrac{\varepsilon}{|m|}.
  • Se 0<|x-a|<\delta então |m x + b - (m a + b)| = |m||x-a| < |m|\cdot \frac{\varepsilon}{|m|} = \varepsilon.
  • Logo o limite é m a + b.
Esses exemplos mostram o tipo de escolha direta de \delta que costuma cair em prova.

Passo 6

Propriedade de soma e produto (provas epsilon-delta, muito úteis na prova).
Teorema (soma): Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M, então \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = L+M.
Prova passo a passo:
  • Dado \varepsilon>0 queremos \delta>0 tal que |(f+g)(x)-(L+M)|<\varepsilon sempre que 0<|x-a|<\delta.
  • Observe |(f+g)(x)-(L+M)| \le |f(x)-L| + |g(x)-M|.
  • Tome \varepsilon_1=\varepsilon_2=\varepsilon/2. Pelas hipóteses existem \delta_1,\delta_2>0 correspondentes.
  • Escolha \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Então, para 0<|x-a|<\delta, |(f+g)(x)-(L+M)| \le |f(x)-L| + |g(x)-M| < \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = \varepsilon.
  • Concluímos a afirmação.
Teorema (produto): Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M então \lim_{x\to a} f(x)g(x) = L M.
Prova passo a passo:
  • Queremos controlar |f(x)g(x) - L M|.
  • Faço a decomposição clássica: |f g - L M| = |f g - f M + f M - L M| \le |f||g-M| + |M||f-L|.
  • Pelo Passo 3, como \lim_{x\to a} f(x)=L existe \delta_0>0 tal que |f(x)|\le |L|+1 para 0<|x-a|<\delta_0.
  • Dado \varepsilon>0, escolha \varepsilon_1 e \varepsilon_2 de modo que (|L|+1)\varepsilon_1 + |M|\varepsilon_2 \le \varepsilon.Uma escolha simples é tomar \varepsilon_1=\varepsilon_2=\dfrac{\varepsilon}{2(|L|+|M|+1)} (qualquer escolha positiva que satisfaça a desigualdade serve).
  • Pelas hipóteses existem \delta_1,\delta_2>0 tais que |g(x)-M|<\varepsilon_1 para 0<|x-a|<\delta_1 e |f(x)-L|<\varepsilon_2 para 0<|x-a|<\delta_2.
  • Tome \delta=\min(\delta_0,\delta_1,\delta_2). Então para 0<|x-a|<\delta, |f(x)g(x)-LM| \le |f(x)|\,|g(x)-M| + |M|\,|f(x)-L| \le (|L|+1)\varepsilon_1 + |M|\varepsilon_2 \le \varepsilon.
  • Assim \lim_{x\to a} f(x)g(x)=LM.

Passo 7

Quociente: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}.
Prova passo a passo:
  • Queremos controlar \left|\dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{L}{M}\right|.
  • Reescrever: \left|\frac{f}{g}-\frac{L}{M}\right| = \left|\frac{fM - L g}{gM}\right| = \frac{1}{|g||M|}\;|fM - Lg|.E |fM - Lg| \le |M|\,|f-L| + |L|\,|g-M|.
  • Primeiro garantir que g(x) não se aproxime de 0: como \lim_{x\to a} g(x)=M e M\neq 0, existe \delta_1>0 tal que 0<|x-a|<\delta_1 implica |g(x)-M|<|M|/2. Portanto para esses x, |g(x)| \ge |M| - |g(x)-M| > |M| - \frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}.
  • Dado \varepsilon>0, escolha \varepsilon_1 e \varepsilon_2 tal que \frac{1}{(|M|/2)|M|}\big(|M|\varepsilon_1 + |L|\varepsilon_2\big) \le \varepsilon.Por exemplo, escolha \varepsilon_1=\varepsilon_2=\dfrac{\varepsilon |M|^2}{4(|M|+|L|)}.
  • Pelas hipóteses obtenha \delta_2,\delta_3>0 correspondentes a \varepsilon_1,\varepsilon_2.
  • Tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2,\delta_3). Para 0<|x-a|<\delta temos |g(x)|\ge |M|/2 e |f-L|<\varepsilon_1, |g-M|<\varepsilon_2. Assim \left|\frac{f}{g}-\frac{L}{M}\right| \le \frac{1}{|g||M|}\big(|M||f-L| + |L||g-M|\big) \le \frac{1}{(|M|/2)|M|}\big(|M|\varepsilon_1 + |L|\varepsilon_2\big) \le \varepsilon.
  • Portanto a propriedade do quociente está provada.
Essas provas mostram o padrão que você deve seguir na prova: decompor a diferença, usar desigualdade triangular, garantir que algum fator não zere (com a hipótese M\neq 0), e usar a limitação local obtida pela definição.

Passo 8

Caracterização sequencial dos limites (muito útil em provas e exercícios).
Afirmação: \lim_{x\to a} f(x)=L se e somente se, para toda sequência (x_n) em X com x_n\neq a para todo n e x_n\to a, vale f(x_n)\to L.
Prova da direção “ \Rightarrow”:
  • Suponha \lim_{x\to a} f(x)=L. Seja (x_n)\subset X\setminus\{a\} com x_n\to a.
  • Dado \varepsilon>0, pela definição existe \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta implica |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Como x_n\to a, existe N tal que para todo n\ge N temos |x_n-a|<\delta. Para esses n vale |f(x_n)-L|<\varepsilon.
  • Portanto f(x_n)\to L.
Prova da direção “ \Leftarrow”:
  • Suponha que para toda sequência x_n\to a (com x_n\neq a) temos f(x_n)\to L. Vamos provar \lim_{x\to a} f(x)=L por contradição.
  • Se a definição epsilon-delta falha então existe \varepsilon_0>0 tal que para todo k\in\mathbb{N} existe x_k\in X com 0<|x_k-a|<1/k mas |f(x_k)-L|\ge \varepsilon_0.
  • Pela construção, x_k\to a (pois |x_k-a|<1/k). Pela hipótese sequencial isso implicaria f(x_k)\to L, contradizendo |f(x_k)-L|\ge\varepsilon_0 para todo k.
  • Assim a definição não pode falhar; logo \lim_{x\to a} f(x)=L.
Essa equivalência é prática: em muitos exercícios é mais fácil pensar em sequências.

Passo 9

Relação com continuidade.
  • Definição: f é contínua em a\in X se \lim_{x\to a} f(x) = f(a).
  • Explicação: continuidade exige que, ao aproximar x de a, os valores f(x) aproximem exatamente f(a). É a mesma definição de limite deslocada para o caso particular L=f(a).
  • Observação prática: para mostrar continuidade de uma função em a pode-se provar a existência do limite e verificar que é igual ao valor no ponto.

Passo 10

Exemplos práticos com escolha explícita de \delta (treino para prova).
Exemplo 1: provar que \lim_{x\to 2} (3x+1)=7.
  • Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon/3.
  • Se 0<|x-2|<\delta então |3x+1 - 7| = |3||x-2| = 3|x-2| < 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
Exemplo 2: provar que \lim_{x\to 0} x^2 = 0.
  • Dado \varepsilon>0, queremos |x^2-0|<\varepsilon quando 0<|x|<\delta.
  • Uma escolha natural é \delta=\min(1,\sqrt{\varepsilon}). Se 0<|x|<\delta então |x|<\sqrt{\varepsilon} e assim |x^2|<\varepsilon.
  • Por que incluí \min(1,\cdot)? Em casos mais complicados é útil manter |x| pequeno para poder usar |x|\le 1 em estimativas; aqui bastaria \delta=\sqrt{\varepsilon}.
Esses exemplos mostram o tipo de raciocínio útil: isolar uma expressão de |x-a| e escolher \delta como função de \varepsilon.

Passo 11

Dicas práticas para provas e exercícios (tomadas de nota rápidas e motivadoras):
  • Sempre comece dizendo claramente o que é dado e o que quer provar: “Seja \varepsilon>0 arbitrário. Vou encontrar \delta>0 tal que …”.
  • Para polinômios e funções simples, tente fatorar a diferença e obter uma estimativa linear em |x-a|.
  • Use a técnica “limite implica restrição de tamanho”: a partir do limite de uma função obtenha que ela é limitada num vizinho de a (isso ajuda no produto).
  • Para quociente, garanta que o denominador não zere tomando \delta tal que |g(x)-M|<|M|/2.
  • Se a expressão é complicada, uma estratégia é primeiro impor uma condição extra como |x-a|<1 (ou outro número) para controlar termos cruzados; depois escolha \delta min{ 1, algo}.
  • Treine bastante exemplos típicos: polinômios, racionais, funções com valor absoluto, raiz quadrada (usar \sqrt{\cdot} e conjugado se necessário).
  • Use a caracterização sequencial quando o enunciado fala de sequências ou quando for mais natural construir uma sequência para contradizer algo.
Força aí: começar com alguns exemplos resolvidos devagar é a melhor forma de ganhar confiança antes da prova.

Resposta

Definição: \lim_{x\to a} f(x)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que x\in X e 0<|x-a|<\delta implicam |f(x)-L|<\varepsilon.
Propriedades principais demonstradas:
  • O limite, se existe, é único.
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=L então f é limitada num vizinho de a.
  • Limites elementares: \lim_{x\to a} c = c, \lim_{x\to a} x = a, \lim_{x\to a} (m x+b)= m a + b.
  • Operações: soma, produto e quociente (quando limite do denominador é não nulo) preservam limites, com provas epsilon-delta explícitas.
  • Caracterização sequencial: \lim_{x\to a} f(x)=L equivalente a f(x_n)\to L para toda sequência x_n\in X\setminus\{a\} com x_n\to a.
  • Continuidade em a é exatamente o caso \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Exemplos práticos e estratégias para escolher \delta foram mostrados (por ex., \delta=\varepsilon/|m| para funções lineares e \delta=\sqrt{\varepsilon} para x^2 quando a=0).

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