A seção de um evaporador de uma unidade de refrigeração é formada por tubos de paredes finas com 10 mm de diâmetro através dos quais passa um fluido refrigerante a uma temperatura de
ar é resfriado conforme escoa sobre os tubos, mantendo um coeficiente de convecção da superfície de 100
, e é imediatamente direcionado para o compartimento do refrigerador.
(a) Para as condições dadas e uma temperatura do arde
, qual a taxa na qual o calor é extraído do ar por unidade de comprimento do tubo?
(b) Se o processo de descongelamento do refrigerador não funcionar apropriadamente, lentamente o gelo se acumulará na superfície externa do tubo. Verifique o efeito da formação de gelo na capacidade de resfriamento de um tubo em função da espessura na faixa de
. A condutividade térmica do gelo pode ser considerada igual a
.
(c) O refrigerador é desligado após mau funcionamento do processo de descongelamento e uma camada de 2 mm de espessura de gelo ter sido formada. Se os tubos estiverem no ar ambiente para o qual
e a convecção natural mantém um coeficiente de convecção de
, quanto tempo o gelo levará para fundir? A densidade do gelo pode ser considerada
e o calor latente de fusão
.
(a) Para as condições dadas e uma temperatura do arde
(b) Se o processo de descongelamento do refrigerador não funcionar apropriadamente, lentamente o gelo se acumulará na superfície externa do tubo. Verifique o efeito da formação de gelo na capacidade de resfriamento de um tubo em função da espessura na faixa de
(c) O refrigerador é desligado após mau funcionamento do processo de descongelamento e uma camada de 2 mm de espessura de gelo ter sido formada. Se os tubos estiverem no ar ambiente para o qual
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não vou resolver nada ainda).
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Diâmetro externo do tubo:
. - Raio externo do tubo (sem gelo):
. - Temperatura do fluido refrigerante (supõe-se que determina a temperatura interna da superfície do tubo):
. - Coeficiente de convecção do ar sobre a superfície antes do acúmulo de gelo (caso (a) e (b)):
. - Temperatura do ar no caso (a):
. - Espessura do gelo variável para (b):
(usar ). - Para (c): camada de gelo inicial
. Condições ambientais: -
. - Convecção natural com
. - Densidade do gelo:
. - Calor latente de fusão:
.
-
O enunciado pede:
(a) Taxa de calor extraída do ar por unidade de comprimento do tubo para e sem gelo (condições dadas).
(b) Verificar o efeito da formação de gelo na capacidade de resfriamento do tubo como função da espessura no intervalo
. (Ou seja, calcular a taxa de calor por unidade de comprimento
.)
(c) Com camada de gelo inicial , tubo desligado em ambiente a
com
, quanto tempo leva para todo o gelo fundir? (Considerar propriedades dadas.)
(a) Taxa de calor extraída do ar por unidade de comprimento do tubo para
(b) Verificar o efeito da formação de gelo na capacidade de resfriamento do tubo como função da espessura
(c) Com camada de gelo inicial
Passo 2
(a) Resolvendo a taxa de calor por unidade de comprimento sem gelo — elaboração conceitual e fórmula usada.
Conceito básico:
- A transferência de calor por convecção entre o ar (temperatura
) e a superfície do cilindro de raio é dada por
onde
é a área de troca térmica. Para taxa por unidade de comprimento (comprimento
) usamos a área lateral por unidade de comprimento
.
Passo prático (sem gelo):
- Raio do tubo:
. - Diferença de temperatura:
- Área lateral por unidade de comprimento:
- Então a taxa de calor por unidade de comprimento é
Cálculo numérico:
Calculei passo a passo:
Portanto o tubo, sem gelo, retira aproximadamente
por metro de comprimento do ar nessas condições.
Passo 3
(b) Efeito da formação de gelo: modelo e fórmula geral (explicação didática).
Quando há uma camada de gelo de espessura
sobre o tubo, o caminho térmico do ar até o fluido refrigerante tem três resistências em série (por unidade de comprimento):
- Resistência convectiva entre o ar e a superfície externa do gelo.
- Resistência por condução através da camada de gelo (geometria cilíndrica).
- (Resistência do tubo negligenciada porque parede fina — assumida desprezível conforme enunciado).
Representação em resistências por unidade de comprimento:
- Raio interno (superfície do tubo):
. - Raio externo (superfície do gelo):
. - Resistência convectiva por unidade de comprimento:
- Resistência de condução do gelo (cilíndrica) por unidade de comprimento:
onde
.
A resistência total por unidade de comprimento é
A taxa de calor por unidade de comprimento é então
Aqui
(mesmo que no item (a), pois o refrigerante em
e o ar a
).
Passo 4
(b) Cálculo numérico de
para
. (Vou calcular passo a passo, mostrando os valores intermediários.)
Constantes usadas:
,
,
,
.
-
( ):
-
-
. -
. -
(confirma o item (a))
-
( ):
-
( ):
-
( ):
-
( ):
Observação interpretativa (rápida e intuitiva): conforme
aumenta, a resistência total aumenta (a convecção já domina e a condução do gelo adiciona resistência), logo a taxa de resfriamento
diminui. A redução percentual aproximada entre
e
é cerca de
.
Passo 5
(c) Tempo para o gelo de espessura
fundir no ambiente (
,
) — modelo físico, derivação e cálculo.
Modelo e hipóteses (explicadas):
- Durante a fusão, a superfície de fusão do gelo fica aproximadamente à temperatura de
. Assim o gradiente térmico está entre e . - O calor que entra pela convecção na superfície externa do gelo é conduzido através do gelo até a interface gelo‑água, onde é usado como calor latente para fundir o gelo.
- Assume-se que o processo é suficientemente lento para tratar, a cada instante, o campo térmico no gelo como quasi‑estacionário (resistências em série como no item (b)), e que a água removvida não impede o escoamento de calor (modelo clássico de fusão radial).
- Despreza-se o aquecimento sensível do gelo e do tubo (somente mudança de fase considerada).
Equações:
- Considere um elemento cilíndrico por unidade de comprimento. Massa de gelo por unidade de comprimento quando o raio externo é
:
- A variação infinitesimal de energia necessária para fundir um anel infinitesimal
é
- A taxa de calor disponível (por unidade de comprimento) no instante em que o raio externo é
é
onde agora
,
com
e
.
Tempo infinitesimal para fundir
:
Substituindo
e simplificando (passo algébrico importante trazido aqui para clarificar):
Portanto o tempo total para a fusão completa (de
até
) é
Avaliação da integral (faço a integral analiticamente para ficar exato):
- A integral do primeiro termo é
. - A integral do segundo termo usa integração por partes e resulta em
Juntando tudo:
onde
.
Agora substituo os números:
-
. -
(para ). -
. -
. -
. -
. -
.
Cálculo numérico (passos):
- Coeficiente
- Primeiro termo:
- Segundo termo interno:
-
-
-
- Avaliação:
- Dividindo por
dá
-
- Soma dentro das chaves:
- Multiplicando pelo coeficiente:
Converter para horas/minutos:
Observações finais sobre o item (c):
- O resultado considera que toda a energia convectiva coletada do ar vai diretamente para fundir o gelo (sem aquecer sensivelmente gelo/tubo) e que
permanece aproximadamente durante o processo. Em prática, existirão efeitos transientes na temperatura do tubo e variação de , mas essa é uma boa estimativa de ordem de grandeza.
Resposta
(a)
(b) Valores de
para
,
e
:
(c) Tempo para fundir a camada de gelo inicial
no ambiente indicado: