A seção de um evaporador de uma unidade de refrigeração é formada por tubos de paredes finas com 10 mm de diâmetro através dos quais passa um fluido refrigerante a uma temperatura de -18^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} ar é resfriado conforme escoa sobre os tubos, mantendo um coeficiente de convecção da superfície de 100 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, e é imediatamente direcionado para o compartimento do refrigerador.
(a) Para as condições dadas e uma temperatura do arde -3^{\circ} \mathrm{C}, qual a taxa na qual o calor é extraído do ar por unidade de comprimento do tubo?
(b) Se o processo de descongelamento do refrigerador não funcionar apropriadamente, lentamente o gelo se acumulará na superfície externa do tubo. Verifique o efeito da formação de gelo na capacidade de resfriamento de um tubo em função da espessura na faixa de 0 \leq \delta \leq 4 \mathrm{~mm}. A condutividade térmica do gelo pode ser considerada igual a 0,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}.
(c) O refrigerador é desligado após mau funcionamento do processo de descongelamento e uma camada de 2 mm de espessura de gelo ter sido formada. Se os tubos estiverem no ar ambiente para o qual \mathrm{T}_{\infty}=20 { }^{\circ} \mathrm{C} e a convecção natural mantém um coeficiente de convecção de 2 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, quanto tempo o gelo levará para fundir? A densidade do gelo pode ser considerada 700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e o calor latente de fusão 334 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não vou resolver nada ainda).
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Diâmetro externo do tubo: D = 10\\ \mathrm{mm} = 0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do tubo (sem gelo): r_{t} = \dfrac{D}{2} = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do fluido refrigerante (supõe-se que determina a temperatura interna da superfície do tubo): T_{s} = -18{,}^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção do ar sobre a superfície antes do acúmulo de gelo (caso (a) e (b)): h = 100\\ \mathrm{W}\!/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}.
  • Temperatura do ar no caso (a): T_{\infty} = -3{,}^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura do gelo variável para (b): 0 \le \delta \le 4\\ \mathrm{mm} (usar k_{\text{gelo}} = 0{,}4\\ \mathrm{W}\!/\mathrm{mK}).
  • Para (c): camada de gelo inicial \delta_0 = 2\\ \mathrm{mm}. Condições ambientais:
    • T_{\infty,\text{amb}} = 20{,}^\circ\mathrm{C}.
    • Convecção natural com h_{\text{amb}} = 2\\ \mathrm{W}\!/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}.
    • Densidade do gelo: \rho = 700\\ \mathrm{kg}\!/\mathrm{m}^{3}.
    • Calor latente de fusão: L = 334\\ \mathrm{kJ}\!/\mathrm{kg} = 334000\\ \mathrm{J}\!/\mathrm{kg}.
O enunciado pede:
(a) Taxa de calor extraída do ar por unidade de comprimento do tubo para T_{\infty}=-3{,}^\circ\mathrm{C} e sem gelo (condições dadas).
(b) Verificar o efeito da formação de gelo na capacidade de resfriamento do tubo como função da espessura \delta no intervalo 0 \le \delta \le 4\\ \mathrm{mm}. (Ou seja, calcular a taxa de calor por unidade de comprimento q'(\delta).)
(c) Com camada de gelo inicial \delta_0=2\\ \mathrm{mm}, tubo desligado em ambiente a 20{,}^\circ\mathrm{C} com h=2\\ \mathrm{W/m^2K}, quanto tempo leva para todo o gelo fundir? (Considerar propriedades dadas.)

Passo 2

(a) Resolvendo a taxa de calor por unidade de comprimento sem gelo — elaboração conceitual e fórmula usada.
Conceito básico:
  • A transferência de calor por convecção entre o ar (temperatura T_{\infty}) e a superfície do cilindro de raio r é dada por
\dot{Q} = h\,A\,(T_{\infty}-T_{s}),
onde A é a área de troca térmica. Para taxa por unidade de comprimento (comprimento L=1\\ \mathrm{m}) usamos a área lateral por unidade de comprimento A' = 2\pi r.
Passo prático (sem gelo):
  • Raio do tubo: r = r_{t} = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_{\infty}-T_{s} = -3{,}^\circ\mathrm{C} - (-18{,}^\circ\mathrm{C}) = 15\\ \mathrm{K}.
  • Área lateral por unidade de comprimento: A' = 2\pi r = \pi D.
  • Então a taxa de calor por unidade de comprimento é
q' = h\,A'\,\Delta T = h\,(2\pi r)\,(T_{\infty}-T_{s}).
Cálculo numérico:
q' = 100\cdot(2\pi\cdot0{,}005)\cdot15.
Calculei passo a passo:
2\pi\cdot0{,}005 = 0{,}0314159\ldots,
100\cdot0{,}0314159 = 3{,}14159,
3{,}14159\cdot15 = 47{,}1239\\ \mathrm{W/m}.
Portanto o tubo, sem gelo, retira aproximadamente 47{,}12\\ \mathrm{W} por metro de comprimento do ar nessas condições.

Passo 3

(b) Efeito da formação de gelo: modelo e fórmula geral (explicação didática).
Quando há uma camada de gelo de espessura \delta sobre o tubo, o caminho térmico do ar até o fluido refrigerante tem três resistências em série (por unidade de comprimento):
  1. Resistência convectiva entre o ar e a superfície externa do gelo.
  2. Resistência por condução através da camada de gelo (geometria cilíndrica).
  3. (Resistência do tubo negligenciada porque parede fina — assumida desprezível conforme enunciado).
Representação em resistências por unidade de comprimento:
  • Raio interno (superfície do tubo): r_{i} = r_{t} = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo (superfície do gelo): r_{o} = r_{i} + \delta.
  • Resistência convectiva por unidade de comprimento:
R_{\text{conv}}' = \dfrac{1}{h\,(2\pi r_{o})}.
  • Resistência de condução do gelo (cilíndrica) por unidade de comprimento:
R_{\text{cond}}' = \dfrac{1}{2\pi k}\,\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right),
onde k = k_{\text{gelo}} = 0{,}4\\ \mathrm{W/mK}.
A resistência total por unidade de comprimento é
R_{\text{tot}}'(\delta) = R_{\text{conv}}' + R_{\text{cond}}' = \dfrac{1}{h\,2\pi r_{o}} + \dfrac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right).
A taxa de calor por unidade de comprimento é então
q'(\delta) = \dfrac{T_{\infty}-T_{s}}{R_{\text{tot}}'(\delta)}.
Aqui \Delta T = T_{\infty}-T_{s} = 15\\ \mathrm{K} (mesmo que no item (a), pois o refrigerante em -18{,}^\circ\mathrm{C} e o ar a -3{,}^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

(b) Cálculo numérico de q'(\delta) para \delta = 0,\\\ 1,\\\ 2,\\\ 3,\\\ 4\\ \mathrm{mm}. (Vou calcular passo a passo, mostrando os valores intermediários.)
Constantes usadas: r_{i}=0{,}005\\ \mathrm{m}, k=0{,}4\\ \mathrm{W/mK}, h=100\\ \mathrm{W/m^{2}K}, \Delta T=15\\ \mathrm{K}.
  1. \delta=0\\ \mathrm{mm} ( r_{o}=0{,}005\\ \mathrm{m}):
  • R_{\text{conv}}' = \dfrac{1}{100\cdot 2\pi\cdot0{,}005} = 0{,}31831\\ \mathrm{(m\cdot K)/W}.
  • R_{\text{cond}}'=0.
  • R_{\text{tot}}'=0{,}31831.
  • q' = \dfrac{15}{0{,}31831} = 47{,}1239\\ \mathrm{W/m}. (confirma o item (a))
  1. \delta=1\\ \mathrm{mm} = 0{,}001\\ \mathrm{m} ( r_{o}=0{,}006\\ \mathrm{m}):
  • R_{\text{conv}}' = \dfrac{1}{100\cdot 2\pi\cdot0{,}006} = 0{,}26526.
  • R_{\text{cond}}' = \dfrac{1}{2\pi\cdot0{,}4}\ln\!\left(\dfrac{0{,}006}{0{,}005}\right) = \dfrac{0{,}1823216}{2{,}513274} = 0{,}07255.
  • R_{\text{tot}}' = 0{,}33781.
  • q' = \dfrac{15}{0{,}33781} = 44{,}417\\ \mathrm{W/m}.
  1. \delta=2\\ \mathrm{mm} = 0{,}002\\ \mathrm{m} ( r_{o}=0{,}007\\ \mathrm{m}):
  • R_{\text{conv}}' = \dfrac{1}{100\cdot 2\pi\cdot0{,}007} = 0{,}22743.
  • R_{\text{cond}}' = \dfrac{1}{2\pi\cdot0{,}4}\ln\!\left(\dfrac{0{,}007}{0{,}005}\right) = \dfrac{0{,}336472}{2{,}513274} = 0{,}13380.
  • R_{\text{tot}}' = 0{,}36123.
  • q' = \dfrac{15}{0{,}36123} = 41{,}525\\ \mathrm{W/m}.
  1. \delta=3\\ \mathrm{mm} = 0{,}003\\ \mathrm{m} ( r_{o}=0{,}008\\ \mathrm{m}):
  • R_{\text{conv}}' = \dfrac{1}{100\cdot 2\pi\cdot0{,}008} = 0{,}19894.
  • R_{\text{cond}}' = \dfrac{1}{2\pi\cdot0{,}4}\ln\!\left(\dfrac{0{,}008}{0{,}005}\right) = \dfrac{0{,}470004}{2{,}513274} = 0{,}18700.
  • R_{\text{tot}}' = 0{,}38594.
  • q' = \dfrac{15}{0{,}38594} = 38{,}870\\ \mathrm{W/m}.
  1. \delta=4\\ \mathrm{mm} = 0{,}004\\ \mathrm{m} ( r_{o}=0{,}009\\ \mathrm{m}):
  • R_{\text{conv}}' = \dfrac{1}{100\cdot 2\pi\cdot0{,}009} = 0{,}17682.
  • R_{\text{cond}}' = \dfrac{1}{2\pi\cdot0{,}4}\ln\!\left(\dfrac{0{,}009}{0{,}005}\right) = \dfrac{0{,}587786}{2{,}513274} = 0{,}23390.
  • R_{\text{tot}}' = 0{,}41072.
  • q' = \dfrac{15}{0{,}41072} = 36{,}529\\ \mathrm{W/m}.
Observação interpretativa (rápida e intuitiva): conforme \delta aumenta, a resistência total aumenta (a convecção já domina e a condução do gelo adiciona resistência), logo a taxa de resfriamento q' diminui. A redução percentual aproximada entre \delta=0 e \delta=4\\ \mathrm{mm} é cerca de 22{,}5\%.

Passo 5

(c) Tempo para o gelo de espessura \delta_{0}=2\\ \mathrm{mm} fundir no ambiente ( T_{\infty}=20{,}^\circ\mathrm{C}, h=2\\ \mathrm{W/m^{2}K}) — modelo físico, derivação e cálculo.
Modelo e hipóteses (explicadas):
  • Durante a fusão, a superfície de fusão do gelo fica aproximadamente à temperatura de 0{,}^\circ\mathrm{C}. Assim o gradiente térmico está entre T_{\infty}=20{,}^\circ\mathrm{C} e 0{,}^\circ\mathrm{C}.
  • O calor que entra pela convecção na superfície externa do gelo é conduzido através do gelo até a interface gelo‑água, onde é usado como calor latente para fundir o gelo.
  • Assume-se que o processo é suficientemente lento para tratar, a cada instante, o campo térmico no gelo como quasi‑estacionário (resistências em série como no item (b)), e que a água removvida não impede o escoamento de calor (modelo clássico de fusão radial).
  • Despreza-se o aquecimento sensível do gelo e do tubo (somente mudança de fase considerada).
Equações:
  • Considere um elemento cilíndrico por unidade de comprimento. Massa de gelo por unidade de comprimento quando o raio externo é r_{o}:
m'(r_{o}) = \rho\,\pi\,(r_{o}^{2}-r_{i}^{2}).
  • A variação infinitesimal de energia necessária para fundir um anel infinitesimal dr_{o} é
dE = L\,dm' = L\,\rho\,2\pi r_{o}\,dr_{o}.
  • A taxa de calor disponível (por unidade de comprimento) no instante em que o raio externo é r_{o} é
q'(r_{o}) = \dfrac{\Delta T}{R_{\text{conv}}'(r_{o}) + R_{\text{cond}}'(r_{o})},
onde agora \Delta T = T_{\infty}-0 = 20\\ \mathrm{K}, R_{\text{conv}}'(r_{o})=\dfrac{1}{h\,2\pi r_{o}} com h=2\\ \mathrm{W/m^{2}K} e R_{\text{cond}}'(r_{o})=\dfrac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right).
Tempo infinitesimal para fundir dm':
dt = \dfrac{dE}{q'(r_{o})} = \dfrac{\rho L 2\pi r_{o}\,dr_{o}}{q'(r_{o})}.
Substituindo q'(r_{o})=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{conv}}'+R_{\text{cond}}'} e simplificando (passo algébrico importante trazido aqui para clarificar):
dt = \dfrac{\rho L}{\Delta T}\left[\,\dfrac{1}{h} + \dfrac{r_{o}}{k}\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right)\right]dr_{o}.
Portanto o tempo total para a fusão completa (de r_{o}=r_{i}+\delta_{0} até r_{o}=r_{i}) é
t = \dfrac{\rho L}{\Delta T}\int_{r_{i}}^{r_{i}+\delta_{0}} \left[\,\dfrac{1}{h} + \dfrac{r_{o}}{k}\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right)\right] dr_{o}.
Avaliação da integral (faço a integral analiticamente para ficar exato):
  • A integral do primeiro termo é \dfrac{r_{o}-r_{i}}{h}.
  • A integral do segundo termo usa integração por partes e resulta em
\int r_{o}\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right)dr_{o} = \dfrac{r_{o}^{2}}{2}\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right) - \dfrac{r_{o}^{2}}{4} + C.
Juntando tudo:
t = \dfrac{\rho L}{\Delta T}\left\{ \dfrac{r_{o0}-r_{i}}{h} + \dfrac{1}{k}\left[ \dfrac{r_{o0}^{2}}{2}\ln\!\left(\dfrac{r_{o0}}{r_{i}}\right) - \dfrac{r_{o0}^{2}}{4} + \dfrac{r_{i}^{2}}{4} \right]\right\},
onde r_{o0}=r_{i}+\delta_{0}.
Agora substituo os números:
  • r_{i}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • r_{o0}=0{,}007\\ \mathrm{m} (para \delta_{0}=0{,}002\\ \mathrm{m}).
  • \rho=700\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • L=334000\\ \mathrm{J/kg}.
  • \Delta T=20\\ \mathrm{K}.
  • h=2\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • k=0{,}4\\ \mathrm{W/mK}.
Cálculo numérico (passos):
  • Coeficiente \dfrac{\rho L}{\Delta T} = \dfrac{700\cdot 334000}{20} = 11\,690\,000.
  • Primeiro termo: \dfrac{r_{o0}-r_{i}}{h} = \dfrac{0{,}002}{2} = 0{,}001.
  • Segundo termo interno:
    • r_{o0}^{2} = 0{,}007^{2} = 0{,}000049.
    • r_{i}^{2} = 0{,}005^{2} = 0{,}000025.
    • \ln\!\left(\dfrac{r_{o0}}{r_{i}}\right) = \ln(1{,}4) = 0{,}336472\ldots
    • Avaliação: \dfrac{r_{o0}^{2}}{2}\ln\!\left(\dfrac{r_{o0}}{r_{i}}\right) - \dfrac{r_{o0}^{2}}{4} + \dfrac{r_{i}^{2}}{4} \approx 2{,}246\times10^{-6}.
    • Dividindo por k=0{,}4 \approx 5{,}615\times10^{-6}.
  • Soma dentro das chaves: 0{,}001 + 5{,}615\times10^{-6} = 0{,}001005615.
  • Multiplicando pelo coeficiente:
t \approx 11\,690\,000 \times 0{,}001005615 = 11\,756{,}5\\ \mathrm{s}.
Converter para horas/minutos:
11\,756{,}5\\ \mathrm{s} \approx 3{,}2657\\ \mathrm{h} = 3\\ \mathrm{h}\\\ 15\\ \mathrm{min}\\\ 57\\ \mathrm{s}\\ (\text{aprox.}).
Observações finais sobre o item (c):
  • O resultado considera que toda a energia convectiva coletada do ar vai diretamente para fundir o gelo (sem aquecer sensivelmente gelo/tubo) e que h permanece aproximadamente 2\\ \mathrm{W/m^{2}K} durante o processo. Em prática, existirão efeitos transientes na temperatura do tubo e variação de h, mas essa é uma boa estimativa de ordem de grandeza.

Resposta

(a) q' = 47{,}12\\ \mathrm{W/m}.
(b) Valores de q'(\delta) para T_{\infty}=-3{,}^\circ\mathrm{C}, h=100\\ \mathrm{W/m^{2}K} e k_{\text{gelo}}=0{,}4\\ \mathrm{W/mK}:
\delta=0\\ \mathrm{mm}:\\ q'=47{,}124\\ \mathrm{W/m}
\delta=1\\ \mathrm{mm}:\\ q'=44{,}417\\ \mathrm{W/m}
\delta=2\\ \mathrm{mm}:\\ q'=41{,}525\\ \mathrm{W/m}
\delta=3\\ \mathrm{mm}:\\ q'=38{,}870\\ \mathrm{W/m}
\delta=4\\ \mathrm{mm}:\\ q'=36{,}529\\ \mathrm{W/m}.
(c) Tempo para fundir a camada de gelo inicial \delta_{0}=2\\ \mathrm{mm} no ambiente indicado:
t \approx 11\,756{,}5\\ \mathrm{s} \approx 3\\ \mathrm{h}\\\ 15\\ \mathrm{min}\\\ 57\\ \mathrm{s}.

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