(Seção 1.2 - exercício 4) y=\frac{1}{x^{2}+c} é uma família a um parâmetro de soluções da ED de primeira ordem y^{\prime}+2 x y^{2}=0. Encontre a solução de primeira ordem PVI consistindo nessa equação diferencial e na condição inicial y(-2)=\frac{1}{2}.
Escolha uma opção:
◯ a. y=\frac{1}{x^{2}}.
◯ b. y=\frac{1}{x^{2}-4}.
◯ c. y=\frac{1}{x^{2}+12}.
◯ d. y=\frac{1}{x^{2}-2}.
◯ e. y=\frac{1}{x^{2}+2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • A família de funções é \;y=\dfrac{1}{x^{2}+c}\;, com parâmetro real c.
  • A equação diferencial é \;y'+2x y^{2}=0\;.
  • A condição inicial é \;y(-2)=\dfrac{1}{2}\;.
  • Pede-se encontrar a solução do PVI (ou seja, escolher o valor de c que satisfaz a condição inicial) e, entre as opções dadas, identificar a solução correta.

Passo 2

Primeiro vamos entender por que \;y=\dfrac{1}{x^{2}+c}\; é candidata a solução e como derivá‑la. Para diferenciar uma função do tipo y=(x^{2}+c)^{-1} usamos a regra da cadeia.
Breve explicação da regra da cadeia (passo a passo):
  • Se y = f(g(x)), então y' = f'(g(x))\cdot g'(x).
  • Aqui f(u)=u^{-1} e g(x)=x^{2}+c.
  • A derivada de f(u)=u^{-1} é f'(u)=-u^{-2}.
  • A derivada de g(x)=x^{2}+c é g'(x)=2x.
Aplicando isto,
y' = - (x^{2}+c)^{-2}\cdot 2x = -\dfrac{2x}{(x^{2}+c)^{2}}.

Passo 3

Agora verificamos que essa derivada satisfaz a equação diferencial dada. Calculamos \;y'+2x y^{2}\; usando y=\dfrac{1}{x^{2}+c} e y' acima.
Escrevendo y^{2}=\dfrac{1}{(x^{2}+c)^{2}}, temos
y' + 2x y^{2} = -\dfrac{2x}{(x^{2}+c)^{2}} + 2x\cdot \dfrac{1}{(x^{2}+c)^{2}} = 0.
Portanto a família realmente satisfaz a equação diferencial: cada escolha de c dá uma solução.

Passo 4

Agora impomos a condição inicial \;y(-2)=\dfrac{1}{2}\;. Substituímos x=-2 na expressão geral:
y(-2)=\dfrac{1}{(-2)^{2}+c}=\dfrac{1}{4+c}.
Queremos \dfrac{1}{4+c}=\dfrac{1}{2}. Resolvendo em passos:
\dfrac{1}{4+c}=\dfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad 4+c=2\quad\Longrightarrow\quad c=2-4=-2.

Passo 5

Portanto o parâmetro é \;c=-2\; e a solução do PVI é
y=\dfrac{1}{x^{2}-2}.
Comentário sobre domínio: é preciso evitar pontos onde o denominador zera, isto é x=\pm\sqrt{2}. A condição inicial x=-2 não pertence a esses pontos, então a solução é válida em um intervalo contendo -2 que não cruze x=\pm\sqrt{2}.

Passo 6

Conferindo entre as opções fornecidas, a que corresponde a \;y=\dfrac{1}{x^{2}-2}\; é a opção d.

Resposta

d. \;y=\dfrac{1}{x^{2}-2}\;

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