(Seção 1.2 - exercício 4)
é uma família a um parâmetro de soluções da ED de primeira ordem
. Encontre a solução de primeira ordem PVI consistindo nessa equação diferencial e na condição inicial
.
Escolha uma opção:
◯ a.
.
◯ b.
.
◯ c.
.
◯ d.
.
◯ e.
.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- A família de funções é
, com parâmetro real . - A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - Pede-se encontrar a solução do PVI (ou seja, escolher o valor de
que satisfaz a condição inicial) e, entre as opções dadas, identificar a solução correta.
Passo 2
Primeiro vamos entender por que
é candidata a solução e como derivá‑la. Para diferenciar uma função do tipo
usamos a regra da cadeia.
Breve explicação da regra da cadeia (passo a passo):
- Se
, então . - Aqui
e . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Aplicando isto,
Passo 3
Agora verificamos que essa derivada satisfaz a equação diferencial dada. Calculamos
usando
e
acima.
Escrevendo
, temos
Portanto a família realmente satisfaz a equação diferencial: cada escolha de
dá uma solução.
Passo 4
Agora impomos a condição inicial
. Substituímos
na expressão geral:
Queremos
. Resolvendo em passos:
Passo 5
Portanto o parâmetro é
e a solução do PVI é
Comentário sobre domínio: é preciso evitar pontos onde o denominador zera, isto é
. A condição inicial
não pertence a esses pontos, então a solução é válida em um intervalo contendo
que não cruze
.
Passo 6
Conferindo entre as opções fornecidas, a que corresponde a
é a opção d.
Resposta
d.