A seção transversal de um canal trapezoidal tem 4 m largura de fundo e a declividade do talude é 1,5: 1 (horizontal: vertical). Se a vazão é igual a 11,9 m^3 / s, calcule a largura superficial crítica.

Passo 1

O exercício diz que temos um canal trapezoidal de fundo b = 4,m e taludes de declividade z = 1,5 (isto é, 1,5 m na horizontal para cada 1 m na vertical). A vazão é Q = 11,9 m^3/s e a gente quer achar a largura superficial crítica, que é basicamente a largura da superfície d’água quando o fluxo entra em condição crítica. O assunto aqui é hidráulica de canais – em particular fluxo crítico – e vamos precisar da fórmula do critério crítico
Q^2,Tg,A^3 = 1
onde A é a área da seção e T é a largura superior (superfície livre) da água.

Passo 2

Para fluxo crítico a energia específica atinge um mínimo e a gente usa a relação
Q^2 = g,A^3 / TLong<=ftrightarrow Q^2,Tg,A^3 = 1
Aqui g = 9,81 m/s^2. A ideia é escrever A e T em função da profundidade crítica yc, montar essa equação e resolver pra yc.

Passo 3

Em um canal trapezoidal temos:
  • largura de fundo b=4 m,
  • talude z=1,5, logo a largura da superfície é T(y) = b + 2,z,y = 4 + 2cdot1,5;y = 4 + 3,y
    - área da seção molhada
    A(y) = b + T(y)2;y = 4 + (4 + 3y)2,y = 4y + 3y^22

Passo 4

Substituindo na condição crítica
Q^2,T(y)g,A(y)^3 = 1
fica
Q^2l(4 + 3yr) = g;l[tfrac4y +3y^22r]^3
Colocando Q=11,9 e g=9,81, sobra uma equação em y que a gente resolve por tentativa (ou cálculo numérico).

Passo 5

Fazendo palpites e interpolando:
  • Para y=1,2,m dá LHS approx 1,076times10^3, RHS approx 930, (LHS maior).
  • Para y=1,3,m dá LHS approx 1,119times10^3, RHS approx 1,330times10^3 (RHS maior).
    Interpolando chegamos em
yc approx 1,245 m
Então a largura superficial crítica é
Tc = 4 + 3,yc approx 4 + 3cdot1,245 = 7,736 m

Resposta

A largura superficial crítica é aproximadamente 7,74,m.

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