Seção 3.1
Se
e
, determine
.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma sequência definida recursivamente e pede uma fórmula explícita. As informações são:
O que se pede: determinar
(ou seja, encontrar uma expressão fechada para o
-ésimo termo da sequência).
Passo 2
Observe o que a relação recursiva diz: cada termo é o termo anterior mais uma constante. Isso significa que a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Vamos formalizar essa ideia: se uma sequência satisfaz
para todo
e alguma constante
, então a sequência tem diferença comum
e é uma progressão aritmética. A fórmula geral (padrão) para uma progressão aritmética é
Explicando essa fórmula:
é o primeiro termo;
é a quantidade que somamos a cada passo; e
é quantas vezes aplicamos essa soma para ir de
até
(por exemplo, para
somamos zero vezes, para
somamos uma vez, etc.).
Passo 3
Agora identificamos os parâmetros do nosso problema comparando com a forma padrão:
Substituindo na fórmula da progressão aritmética:
Passo 4
Faço a simplificação algébrica passo a passo:
Aqui cada termo foi escrito em TeX:
significa três vezes
, e subtraímos
.
Passo 5
Verificação rápida com alguns valores pequenos (para ganhar confiança):
E pela definição recursiva
, bate com a fórmula.
E recursivamente
. Está consistente.
Passo 6
Se quiser uma justificativa formal, pode-se provar por indução que
para todo
: base
vale; passo indutivo: supondo
, então
logo vale para
. Assim a fórmula é válida para todo
.