Seção 3.1
Se x_{n+1}=x_{n}+3 e x_{1}=2, determine x_{n}.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência definida recursivamente e pede uma fórmula explícita. As informações são:
x_{n+1}=x_{n}+3
x_{1}=2
O que se pede: determinar x_{n} (ou seja, encontrar uma expressão fechada para o n-ésimo termo da sequência).

Passo 2

Observe o que a relação recursiva diz: cada termo é o termo anterior mais uma constante. Isso significa que a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Vamos formalizar essa ideia: se uma sequência satisfaz
x_{n+1}=x_{n}+d
para todo n e alguma constante d, então a sequência tem diferença comum d e é uma progressão aritmética. A fórmula geral (padrão) para uma progressão aritmética é
x_{n}=x_{1}+(n-1)d.
Explicando essa fórmula: x_{1} é o primeiro termo; d é a quantidade que somamos a cada passo; e (n-1) é quantas vezes aplicamos essa soma para ir de x_{1} até x_{n} (por exemplo, para n=1 somamos zero vezes, para n=2 somamos uma vez, etc.).

Passo 3

Agora identificamos os parâmetros do nosso problema comparando com a forma padrão:
d=3\quad\text{e}\quad x_{1}=2.
Substituindo na fórmula da progressão aritmética:
x_{n}=x_{1}+(n-1)d=2+(n-1)\cdot 3.

Passo 4

Faço a simplificação algébrica passo a passo:
x_{n}=2+3(n-1)
x_{n}=2+3n-3
x_{n}=3n-1.
Aqui cada termo foi escrito em TeX: 3n significa três vezes n, e subtraímos 1.

Passo 5

Verificação rápida com alguns valores pequenos (para ganhar confiança):
\text{Para }n=1:\quad x_{1}=3\cdot 1-1=2\quad\checkmark
\text{Para }n=2:\quad x_{2}=3\cdot 2-1=5
E pela definição recursiva x_{2}=x_{1}+3=2+3=5, bate com a fórmula.
\text{Para }n=3:\quad x_{3}=3\cdot 3-1=8
E recursivamente x_{3}=x_{2}+3=5+3=8. Está consistente.

Passo 6

Se quiser uma justificativa formal, pode-se provar por indução que x_{n}=3n-1 para todo n: base n=1 vale; passo indutivo: supondo x_{k}=3k-1, então
x_{k+1}=x_{k}+3=(3k-1)+3=3(k+1)-1,
logo vale para k+1. Assim a fórmula é válida para todo n\ge1.

Resposta

x_{n}=3n-1

Exercícios relacionados