Segue-se imediatamente das definições de limite de funções no infinito e limite de sequências que se lim x infty f(x)=L e f(n)=an quando n é um inteiro positivo, então
lim n infty an=L
Use esse resultado e a Regra de LHôspital para mostrar que
lim n infty ln nn=0

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limntoinftyln nn. O conteúdo envolve limites de funções e sequências, usando Regra de L’Hôpital e o resultado que diz que se limxtoinftyf(x)=L e f(n)=an então limntoinftyan=L.

Passo 2

Consideramos a função g(x)=ln xx para x>0. Queremos calcular limxtoinftyg(x). Substituindo diretamente, obtemos a forma indeterminada inftyinfty, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador: derivada de ln x é tfrac1x e derivada de x é 1. Assim fica:
limxtoinftyln xx =limxtoinftytfrac1x1 =limxtoinfty1x

Passo 4

Sabemos que limxtoinftytfrac1x=0. Logo limxtoinftyg(x)=0.
Pelo resultado que transfere o limite de funções para sequências, tomando f(x)=g(x) e an=g(n)=tfracln nn, concluímos que
limntoinftyln nn=0

Resposta

0

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