No que segue a \in(0,1) e b>0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b^{n}}{2^{n^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_n,\quad\text{onde}\quad a_n=\frac{b^n}{2^{n^2}},\;b>0.
O conteúdo que vamos usar é o Teste da Raiz de Cauchy, que diz que se
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}
existe e L<1, então a série converge absolutamente (logo converge).

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz calculando
\sqrt[n]{a_n} =\sqrt[n]{\frac{b^n}{2^{n^2}}} =\frac{\sqrt[n]{b^n}}{\sqrt[n]{2^{n^2}}} =\frac{b}{2^n}.
Como \lim_{n\to\infty}2^n=+\infty, segue
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b}{2^n}=0.
Temos L=0<1.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b^n}{2^{n^2}} converge (converge absolutamente) para todo b>0.

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