Resolva a equação e^{2 x}-5 e^{x}+6=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
e^{2x} - 5e^{x} + 6 = 0.
Aqui reconhecemos que e^{2x} = (e^x)^2, então podemos transformar essa equação numérica numa equação quadrática em e^x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^x,
com t>0. Assim a equação vira
t^2 - 5t + 6 = 0.

Passo 3

Resolvendo a quadrática, fatoramos:
t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3) = 0
Logo as soluções de t são
t = 2 \quad\text{ou}\quad t = 3.

Passo 4

Voltando à variável original, temos
e^x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \ln(2),
e^x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \ln(3).

Resposta

\displaystyle x = \ln(2) ou \displaystyle x = \ln(3).

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