No que segue a \in(0,1) e b>0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\log (n)}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\frac{\log(n)}{n}\biggr)^{n}
converge ou diverge. Como o termo geral está elevado a n, faz sentido usar o teste da raiz (Cauchy) para séries numéricas.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para a_n\in\mathbb{R}, se
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},
então a série \sum a_n converge absolutamente se L<1 e diverge se L>1.

Passo 3

No nosso caso,
a_n = \biggl(\frac{\log(n)}{n}\biggr)^{n},
então
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\bigl(\tfrac{\log(n)}{n}\bigr)^{n}} = \frac{\log(n)}{n}.

Passo 4

Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n}=0.
Logo
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = 0 < 1.
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{\log(n)}{n}\bigr)^{n} converge.

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