Determine o conjunto imagem da função f(x)=|x-3|-|x+2|.

Passo 1

O enunciado pede a imagem da função
f(x)=|x-3|-|x+2|.
Para resolver, vamos usar o fato de que valores absolutos geram funções lineares por partes, mudando de expressão onde o argumento do módulo se anula. Aqui os pontos críticos são x=-2 e x=3.

Passo 2

Determinamos os sinais de x-3 e x+2 em cada região e escrevemos f(x) sem módulos:
  • Região 1: x< -2
  • Região 2: -2 \le x<3
  • Região 3: x\ge3

Passo 3

Para x< -2 temos x-3<0 e x+2<0, logo
|x-3}=3-x,\quad |x+2}=-x-2
e
f(x)=(3-x)-(-x-2)=5.

Passo 4

Para -2 \le x<3 temos x-3<0 e x+2\ge0, logo
|x-3}=3-x,\quad |x+2}=x+2
e
f(x)=(3-x)-(x+2)=1-2x.
Essa é uma reta decrescente em [-2,3). Em x=-2 vale 1-2(-2)=5 e em x\to3^- vale 1-2\cdot3=-5.

Passo 5

Para x\ge3 temos x-3\ge0 e x+2\ge0, logo
|x-3}=x-3,\quad |x+2}=x+2
e
f(x)=(x-3)-(x+2)=-5.

Passo 6

Combine os resultados:
  • Em x< -2, f(x)=5.
  • Em -2\le x\le3, f(x) decresce de 5 até -5.
  • Em x\ge3, f(x)=-5.
Portanto f(x) atinge todos os valores entre -5 e 5.

Resposta

O conjunto imagem de f é \bigl[-5,5\bigr].

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