Resolva a imequação |2 x-5|>\frac{|x+1|}{8}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
|2x - 5| > \frac{|x + 1|}{8}.
O conteúdo é inequação envolvendo valores absolutos. Vamos precisar usar as propriedades de valor absoluto e, em seguida, transformar numa inequação polinomial comum para encontrar o conjunto solução.

Passo 2

Multiplicamos os dois lados por 8 (positivo, então não inverte o sinal) para eliminar o denominador:
8\,|2x - 5| > |x + 1|.

Passo 3

Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sinal da desigualdade:
\bigl(8\,|2x - 5|\bigr)^{2} > \bigl(|x + 1|\bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad 64\,(2x - 5)^{2} > (x + 1)^{2}.

Passo 4

Expandimos ambos os lados e trazemos tudo para o lado esquerdo:
64\,(4x^{2} - 20x + 25) - (x^{2} + 2x + 1) > 0
256x^{2} - 1280x + 1600 \;-\; x^{2} - 2x - 1 > 0
255x^{2} - 1282x + 1599 > 0.

Passo 5

Essa é uma quadrática f(x)=255x^{2}-1282x+1599. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-1282)^{2} - 4\cdot255\cdot1599 = 1643524 - 1630980 = 12544 = 64\cdot196,
\sqrt{\Delta} = 8\cdot14 = 112.
As raízes são
x = \frac{1282 \pm 112}{2\cdot255} \;\Longrightarrow\; x_{1} = \frac{1282-112}{510} = \frac{1170}{510} = \frac{39}{17}, \quad x_{2} = \frac{1282+112}{510} = \frac{1394}{510} = \frac{41}{15}.

Passo 6

Como o coeficiente de x^{2} é positivo 255>0, a parábola abre para cima e f(x)>0 quando
x < \frac{39}{17} \quad\text{ou}\quad x > \frac{41}{15}.

Resposta

x \in \bigl(-\infty,\tfrac{39}{17}\bigr)\;\cup\;\bigl(\tfrac{41}{15},\infty\bigr).

Exercícios relacionados