No que segue a \in(0,1) e b>0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} 2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\,2^{n}}.
O conteúdo da matéria é testes de convergência de séries numéricas (por exemplo, teste da razão).

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Seja
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}\,2^{n}}.
Calculemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}\,2^{\,n+1}}} {\frac{1}{\sqrt{n}\,2^{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\cdot\frac{1}{2} = \frac12.

Passo 3

Como o limite do quociente é \tfrac12<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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