No que segue a \in(0,1) e b>0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{26}}{n^{4}+n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{26}}{n^{4}+n^{2}+1}.
O conteúdo é teste de séries numéricas, em particular comparação com p-séries.

Passo 2

Para n\ge1 vale
n^{4}+n^{2}+1\ge n^{4},
portanto
0 \le \frac{10^{26}}{n^{4}+n^{2}+1}\le \frac{10^{26}}{n^{4}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}n^{-4} é uma p-série com p=4>1, ela converge.

Passo 3

Pela comparação direta, se \sum 10^{26}n^{-4} converge então \displaystyle\sum \frac{10^{26}}{n^{4}+n^{2}+1} também converge.

Resposta

A série converge.

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