No que segue a \in(0,1) e b>0. Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou não converge.
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\Bigl(\frac{1}{n^{2}}\Bigr).
O conteúdo necessário é a equivalência assintótica de \sin x quando x\to0 e o teste de comparação com séries p-séries.

Passo 2

Para n grande, \tfrac{1}{n^2}\to0, e pela expansão de Taylor em torno de zero temos
\sin x = x + o(x).
Logo,
\sin\!\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr) = \frac{1}{n^2} + o\!\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr).
Isto implica que existe constante C>0 tal que, para n suficientemente grande,
0 \le \sin\!\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr) \le \frac{C}{n^2}.

Passo 3

Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{C}{n^2}
é convergente (é uma p-série com p=2>1). Pelo teste de comparação, conclui-se que
\sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)
também converge.

Resposta

A série converge.

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