Seguindo as etapas apresentadas, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=e^x-x^2

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico de
f(x)=e^,x - x^2
O conteúdo envolvido é o estudo de função real: domínio, pontos notáveis, extremos, monotonia, concavidade e comportamento para xtopminfty. Para resolver, vamos (1) determinar o domínio e valores notáveis, (2) calcular f'(x) e achar extremos e monotonia, (3) calcular f''(x) para concavidade e pontos de inflexão, (4) estudar os limites em pminfty.

Passo 2

Domínio e valores notáveis.
  1. A função e^u está definida para todo uinR, logo o domínio de f é R.
  2. Em x=0 temos
f(0)=e^0-0^2=e^0=1
  1. Para ver onde f pode atingir valor máximo, completamos o quadrado no expoente:
x - x^2=-l(x^2-xr)=-l[(x-tfrac12)^2-tfrac14r]=-,(x-tfrac12)^2+tfrac14
Logo
f(x)=e^-,(x-tfrac12)^2+tfrac14=e^tfrac14,e^-,(x-tfrac12)^2,
o que mostra que o máximo de f ocorre em x=tfrac12 com valor
fl(tfrac12r)=e^1/4

Passo 3

Derivada e monotonia.
  1. Calculamos
f'(x)=e^,x - x^2cdotl(1-2xr)=f(x),(1-2x)
  1. O único ponto crítico está em 1-2x=0, ou seja x=tfrac12.
  2. Para x<tfrac12 temos 1-2x>0implies f'(x)>0 (função crescente) e para x>tfrac12 tem f'(x)<0 (decrescente). Assim, x=tfrac12 é um máximo global.

Passo 4

Concavidade e pontos de inflexão.
  1. Calculamos
f''(x)=ddxl[f(x),(1-2x)r] =f'(x),(1-2x)+f(x),(-2)
f''(x)=f(x)l[(1-2x)^2-2r]
  1. A inflexão ocorre quando (1-2x)^2-2=0, isto é
1-2x=pmraiz2Longrightarrow x=1pmraiz22
  1. Para x<tfrac1-raiz22 e x>tfrac1+raiz22 temos (1-2x)^2>2implies f''(x)>0 (concavidade para cima), e entre esses pontos f''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 5

Limites e assíntotas.
limxto+inftyf(x)=limxto-inftye^x-x^2=0
pois o termo -x^2 domina, e e^-infty=0. Logo y=0 é assíntota horizontal em ambos os lados.

Resposta

O esboço de f(x)=e^,x - x^2 é uma curva positiva, que parte de zero quando xto-infty, sobe de forma côncava para cima até x=tfrac1-raiz22, depois fica côncava para baixo até x=tfrac1+raiz22, e em seguida volta a ser côncava para cima enquanto decresce até zero quando xto+infty. Tem intercepto em (0,1) e atinge o máximo global em l(tfrac12,e^1/4r).

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