Seguindo as etapas apresentadas, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico de
O conteúdo envolvido é o estudo de função real: domínio, pontos notáveis, extremos, monotonia, concavidade e comportamento para
. Para resolver, vamos (1) determinar o domínio e valores notáveis, (2) calcular
e achar extremos e monotonia, (3) calcular
para concavidade e pontos de inflexão, (4) estudar os limites em
.
Passo 2
Domínio e valores notáveis.
- A função
está definida para todo , logo o domínio de é . - Em
temos
- Para ver onde
pode atingir valor máximo, completamos o quadrado no expoente:
Logo
o que mostra que o máximo de
ocorre em
com valor
Passo 3
Derivada e monotonia.
- Calculamos
- O único ponto crítico está em
, ou seja . - Para
temos (função crescente) e para tem (decrescente). Assim, é um máximo global.
Passo 4
Concavidade e pontos de inflexão.
- Calculamos
- A inflexão ocorre quando
, isto é
- Para
e temos (concavidade para cima), e entre esses pontos (concavidade para baixo).
Passo 5
Limites e assíntotas.
pois o termo
domina, e
. Logo
é assíntota horizontal em ambos os lados.
Resposta
O esboço de
é uma curva positiva, que parte de zero quando
, sobe de forma côncava para cima até
, depois fica côncava para baixo até
, e em seguida volta a ser côncava para cima enquanto decresce até zero quando
. Tem intercepto em
e atinge o máximo global em
.