Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral ln (x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral lnl(x^2+1r),dx
O conteúdo principal que vamos usar é o método de integração por partes, que serve para integrar produtos de funções.

Passo 2

Na integração por partes, usamos a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui escolhemos
u = lnl(x^2+1r), dv = dx

Passo 3

Agora calculamos du e v:
du = ddxl[lnl(x^2+1r)r],dx = 2xx^2+1,dx,
v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes,
integral lnl(x^2+1r),dx = x,lnl(x^2+1r) - integral xcdot 2xx^2+1,dx = x,lnl(x^2+1r) - 2integral x^2x^2+1,dx
Para integrar integral x^2x^2+1,dx, escrevemos
x^2x^2+1 = 1 - 1x^2+1,
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integral x^2x^2+1,dx = integral 1,dx - integral 1x^2+1,dx = x - arctan(x)

Passo 5

Substituindo de volta,
integral lnl(x^2+1r),dx = x,lnl(x^2+1r) - 2l(x - arctan(x)r) + C = x,lnl(x^2+1r) - 2x + 2,arctan(x) + C

Resposta

boxed integral lnl(x^2+1r),dx = x,lnl(x^2+1r) - 2x + 2,arctan(x) + C

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