Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral sen(2 x) cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sin(2x),cos(3x),dx
O conteúdo aqui é integração de produtos de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade de produto-para-soma para simplificar a integral.

Passo 2

Aplicamos a fórmula
sin(a)cos(b)=tfrac12l[sin(a+b)+sin(a-b)r]
com a=2x e b=3x. Assim,
sin(2x)cos(3x) =tfrac12l[sin(5x)+sin(-x)r]

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral sin(2x)cos(3x),dx =tfrac12integral sin(5x),dx +tfrac12integral sin(-x),dx
Como sin(-x)=-sin(x), isto vira
tfrac12integral sin(5x),dx -tfrac12integral sin(x),dx

Passo 4

Integramos cada termo usando
integral sin(kx),dx=-1kcos(kx)
Logo,
integral sin(5x),dx=-tfrac15cos(5x), integral sin(x),dx=-cos(x)
Portanto
integral sin(2x)cos(3x),dx =-tfrac12cdottfrac15cos(5x) +tfrac12cos(x)+C =-tfrac110cos(5x)+tfrac12cos(x)+C

Resposta

-110cos(5x)+12cos(x)+C

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