Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se a>1, então a^2>a. (Sugestão: Use o item f).)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar que, em um corpo ordenado, se ,a>1 então ,a^2>a. Para isso usaremos apenas as propriedades de corpo (existência de soma, inverso, produto, distributividade etc.) e as propriedades de ordem:
  • O1 (totalidade e transitividade),
  • O2 (imutabilidade da ordem pela adição de um mesmo termo),
  • O3 (fechamento da parte positiva sob multiplicação).
    A sugestão (item f) é justamente usar O2 para transformar a desigualdade inicial.

Passo 2

Aplicando O2 com c=-1 em a>1, obtemos
a + (-1) ;>; 1 + (-1)
Pelos axiomas de corpo, 1+(-1)=0. Logo
a-1>0
Aqui usamos:
— O2 para adicionar -1 a ambos os lados;
— F3 (inverso aditivo) e F4 (elemento neutro da soma) para reescrever 1+(-1)=0.

Passo 3

Também precisamos de a>0. Sabemos que 1>0 é condição de um corpo ordenado (ou pode ser demonstrado por contradomínio de O1 e axiomas de corpo). Então, de a>1 e 1>0, pela transitividade (O1) segue
a>0

Passo 4

Agora aplicamos O3 (fechamento sob produto) às desigualdades
a-1>0 e a>0,
o que dá
(a-1),a > 0

Passo 5

Usando distributividade e comutatividade do produto, reescrevemos
(a-1),a = acdot a ;-; a = a^2 - a
Portanto temos
a^2 - a > 0

Passo 6

Finalmente, aplicando O2 de novo—agora somando a a ambos os lados de a^2 - a>0—obtemos
a^2 - a + a > 0 + a Longrightarrow a^2 > a

Resposta

Concluímos que, em um corpo ordenado, se ,a>1 então ,a^2>a.

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