Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
, então
. (Sugestão: Use o item f).)
Se
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos provar que, em um corpo ordenado, se
então
. Para isso usaremos apenas as propriedades de corpo (existência de soma, inverso, produto, distributividade etc.) e as propriedades de ordem:
- O1 (totalidade e transitividade),
- O2 (imutabilidade da ordem pela adição de um mesmo termo),
- O3 (fechamento da parte positiva sob multiplicação).
A sugestão (item f) é justamente usar O2 para transformar a desigualdade inicial.
Passo 2
Aplicando O2 com
em
, obtemos
Pelos axiomas de corpo,
. Logo
Aqui usamos:
— O2 para adicionar a ambos os lados;
— F3 (inverso aditivo) e F4 (elemento neutro da soma) para reescrever .
— O2 para adicionar
— F3 (inverso aditivo) e F4 (elemento neutro da soma) para reescrever
Passo 3
Também precisamos de
. Sabemos que
é condição de um corpo ordenado (ou pode ser demonstrado por contradomínio de O1 e axiomas de corpo). Então, de
e
, pela transitividade (O1) segue
Passo 4
Agora aplicamos O3 (fechamento sob produto) às desigualdades
o que dá
Passo 5
Usando distributividade e comutatividade do produto, reescrevemos
Portanto temos
Passo 6
Finalmente, aplicando O2 de novo—agora somando
a ambos os lados de
—obtemos
Resposta
Concluímos que, em um corpo ordenado, se
então
.