Qual das seguinte afirmações sobre o trabalho feito por uma força conservativa é falsa?
Escolha uma opção:
◯ a. É igual ao valor da força, que é conservada e então é constante, vezes o módulo do deslocamento vetorial
◯ b. É igual ao negativo da variação da energia potencial
◯ c. É reversível
◯ d. É independente da trajetória do corpo, dependendo apenas do ponto inicial e do ponto final
◯ e. É zero numa trajetória fechada

Passo 1

O enunciado pergunta qual das afirmações sobre o trabalho feito por uma força conservativa é falsa. As opções dadas são:
  • (a) É igual ao valor da força, que é conservada e então é constante, vezes o módulo do deslocamento vetorial.
  • (b) É igual ao negativo da variação da energia potencial.
  • (c) É reversível.
  • (d) É independente da trajetória do corpo, dependendo apenas do ponto inicial e do ponto final.
  • (e) É zero numa trajetória fechada.
Informações relevantes do enunciado:
  • Quer identificar a única afirmação falsa entre as cinco.
  • Todas as outras opções devem ser avaliadas em relação às propriedades de forças conservativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de forma simples e precisa o que é trabalho de uma força e o que significa força conservativa.
Definição do trabalho: o trabalho realizado por uma força \mathbf{F} ao deslocar um ponto material ao longo de uma curva de A até B é
W_{A\to B}=\int_{A}^{B}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde:
  • \mathbf{F} é o vetor força aplicado em cada ponto do trajeto;
  • d\mathbf{r} é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da trajetória;
  • o ponto \cdot é o produto escalar.
Força conservativa: uma força é dita conservativa se o trabalho entre dois pontos A e B independe do caminho seguido entre esses pontos. Equivalente a isso existe uma função energia potencial U(\mathbf{r}) tal que
\mathbf{F}=-\nabla U(\mathbf{r}).
Aqui \nabla U é o gradiente de U: ele indica como U varia no espaço; o sinal negativo significa que a força aponta na direção de diminuição de U.

Passo 3

Propriedade: trabalho e energia potencial. A conexão direta é
W_{A\to B}=-\bigl(U(B)-U(A)\bigr)=-\Delta U.
Explicação: se \mathbf{F}=-\nabla U, então substituindo na integral de trabalho obtém-se que o trabalho entre A e B é exatamente a diferença negativa da energia potencial. Aqui:
  • U(A) é o valor da energia potencial no ponto inicial;
  • U(B) é o valor no ponto final;
  • \Delta U = U(B)-U(A).
Isto mostra que a opção (b) é verdadeira.

Passo 4

Trajeto fechado e independência de caminho. Como consequência da independência de caminho temos que se A=B (trajetória fechada),
W_{\text{fechada}}=\oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0,
porque \Delta U=U(A)-U(A)=0. Isso demonstra que a opção (e) é verdadeira. E a independência de caminho é exatamente o que afirma a opção (d), então (d) também é verdadeira.

Passo 5

Sobre reversibilidade (opção (c)). Vamos entender o que significa reversível aqui: se o corpo vai de A para B sob a ação da força conservativa e depois volta de B para A pela mesma força, o trabalho total sobre o ciclo é zero; além disso o trabalho na ida é o oposto do trabalho na volta. Em fórmulas, se
W_{A\to B}=-\bigl(U(B)-U(A)\bigr),
então
W_{B\to A}=-\bigl(U(A)-U(B)\bigr)=-W_{A\to B}.
Isso significa que a energia “gasta” pode ser totalmente recuperada invertendo o processo — comportamento reversível no sentido mecânico/energetico. Portanto a opção (c) é verdadeira (no contexto usual de forças conservativas).

Passo 6

Agora vamos analisar a opção (a) com cuidado e mostrar por que ela é falsa. A opção (a) diz: “É igual ao valor da força, que é conservada e então é constante, vezes o módulo do deslocamento vetorial.”
Por partes:
  1. Uma força ser conservativa não implica que seu valor (módulo) seja constante no espaço. Conservativa significa independência de caminho do trabalho, não constância de \mathbf{F}.
  2. O trabalho geral é a integral do produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. Só em casos especiais (força constante em magnitude e direção ao longo do deslocamento, e paralela ao deslocamento) podemos escrever W=\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r}=F\,\Delta r. Mas isso é para forças constantes, não para a classe geral de forças conservativas.

Passo 7

Exemplo concreto e numérico para tornar a ideia cristalina (faça isso na prova se quiser impressionar o prof.😃):
Considere a força elástica de uma mola (que é conservativa) dada por \mathbf{F}=-k x\,\hat{\mathbf{x}}, com k constante e x a posição. O trabalho ao mover a massa de x_1 para x_2 é
W_{x_1\to x_2}=\int_{x_1}^{x_2}(-k x)\,dx=-\tfrac{1}{2}k\bigl(x_2^2-x_1^2\bigr).
Se você tentasse usar a fórmula simplificada da opção (a), pegando a força “valor” em algum ponto (por exemplo em x_2) e multiplicando por \Delta x=x_2-x_1, obteria
F(x_2)\,\Delta x = (-k x_2)(x_2-x_1),
o que em geral é diferente de -\tfrac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2). Para um número rápido: escolha k=10\\ \text{N/m}, x_1=0, x_2=1\\ \text{m}. O trabalho correto é
W=-\tfrac{1}{2}\cdot10\cdot(1^2-0)= -5\\ \text{J}.
A expressão F(x_2)\Delta x (-10)\cdot1=-10\\ \text{J}, que é o dobro — claramente errado. Então a afirmação (a) é falsa.

Passo 8

Resumo e conclusão lógica:
  • (b) verdadeira (pela relação W=-\Delta U).
  • (d) verdadeira (independência de trajetória).
  • (e) verdadeira (trabalho nulo em ciclo fechado).
  • (c) verdadeira no sentido energético/reversível descrito acima.
  • (a) falsa porque confunde “conservativa” com “constante” e ignora que o trabalho é uma integral do produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, não simplesmente F\Delta r em geral.

Resposta

a.

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