Questão 1 (0,75 pontos)
Três partes de fio, cada uma de comprimento L, são ligadas em série por meio de suas extremidades formando um fio de comprimento igual a 3 L . A primeira parte do fio tem densidade linear \mu_{1}, a segunda tem densidade linear \mu_{2}=4 \mu_{1} e a terceira tem densidade linear \mu_{3}=\frac{\mu_{1}}{4}. (a) Se o fio combinado está sob tensão F , quanto tempo uma onda transversal leva para percorrer o comprimento total 3L? Forneça a resposta em função de L, F e \mu_{1}. (b) A resposta do item (a) depende da ordem em que os fios estão ligados? Explique.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede (tudo pegado do enunciado).
  • Dados:
    • Três partes de fio, cada uma de comprimento L, ligadas em série formando comprimento total 3L.
    • Densidades lineares: \mu_{1}, \mu_{2}=4\mu_{1}, \mu_{3}=\dfrac{\mu_{1}}{4}.
    • Tensão no fio todo: F (a mesma em toda a extensão).
  • Perguntas:
    (a) Quanto tempo uma onda transversal leva para percorrer o comprimento total 3L? Responder em função de L, F e \mu_{1}.
    (b) Essa resposta depende da ordem em que os três trechos estão ligados? Explique.

Passo 2

Conceito-chave (fórmula que vou usar) — velocidade de onda transversal em um fio esticado:
v = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}}
O que isso significa e por que usar:
  • v é a velocidade de propagação da onda transversal ao longo do fio.
  • F é a tensão (força) aplicada no fio.
  • \mu é a densidade linear de massa do fio (massa por unidade de comprimento).
    Explicação rápida e intuitiva: quanto maior a tensão F, mais “esticado” está o fio e mais rápido a onda se propaga; quanto maior a massa por comprimento \mu, mais lenta fica a resposta do fio, então a velocidade diminui. A fórmula vem da equação de onda para uma corda tensa (derivação padrão usando forças nas extremidades de um elemento \Delta x e a segunda lei de Newton), mas aqui vamos usar o resultado.

Passo 3

Regra para tempo de percurso num trecho: se uma onda viaja a velocidade v por um trecho de comprimento L, o tempo para atravessar esse trecho é
t = \dfrac{L}{v}.
Como os trechos estão em série e a onda percorre um após o outro, o tempo total é soma dos tempos em cada trecho:
t_{\text{total}} = t_1 + t_2 + t_3 = \dfrac{L}{v_1} + \dfrac{L}{v_2} + \dfrac{L}{v_3},
onde v_i é a velocidade na i-ésima parte.

Passo 4

Calcular as velocidades em cada trecho usando \;v=\sqrt{F/\mu}\; e as relações entre as \mu:
  • Para o trecho 1 (densidade \mu_1): v_1=\sqrt{\dfrac{F}{\mu_1}}.
  • Para o trecho 2 (densidade \mu_2=4\mu_1): v_2=\sqrt{\dfrac{F}{\mu_2}}=\sqrt{\dfrac{F}{4\mu_1}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{F}{\mu_1}}=\dfrac{v_1}{2}.
  • Para o trecho 3 (densidade \mu_3=\dfrac{\mu_1}{4}): v_3=\sqrt{\dfrac{F}{\mu_3}}=\sqrt{\dfrac{F}{\mu_1/4}}=\sqrt{\dfrac{4F}{\mu_1}}=2\sqrt{\dfrac{F}{\mu_1}}=2v_1.

Passo 5

Calcular os tempos parciais e somar:
  • Tempo no trecho 1: t_1=\dfrac{L}{v_1}=\dfrac{L}{\sqrt{F/\mu_1}}.
  • Tempo no trecho 2: t_2=\dfrac{L}{v_2}=\dfrac{L}{v_1/2}=2\,\dfrac{L}{v_1}=2\,\dfrac{L}{\sqrt{F/\mu_1}}.
  • Tempo no trecho 3: t_3=\dfrac{L}{v_3}=\dfrac{L}{2v_1}=\tfrac{1}{2}\,\dfrac{L}{\sqrt{F/\mu_1}}.
Somando:
t_{\text{total}}=t_1+t_2+t_3=\left(1+2+\tfrac{1}{2}\right)\dfrac{L}{\sqrt{F/\mu_1}}=\dfrac{7}{2}\,\dfrac{L}{\sqrt{F/\mu_1}}.
É comum reescrever isolando a raiz de \mu_1/F:
t_{\text{total}}=\dfrac{7}{2}\,L\sqrt{\dfrac{\mu_1}{F}}.

Passo 6

Resposta à pergunta (b) sobre a ordem dos fios:
  • A expressão usada para o tempo total foi a soma dos tempos em cada trecho: t_{\text{total}}=\sum \dfrac{L_i}{v_i}. Como a soma de números não depende da ordem (comutatividade), e cada trecho tem comprimento \;L\; fixo e velocidade v_i determinada apenas pela sua \mu_i, a ordem dos trechos não altera o valor da soma.
  • Observação importante (assunções): isso assume que a tensão F é a mesma em toda a extensão e que as junções entre trechos são ideais (não acrescentam atraso extra). Reflexões nas descontinuidades de impedância podem ocorrer, mas o tempo de trânsito da onda transmitida entre as extremidades é simplesmente a soma dos tempos nos trechos; portanto, sob essas hipóteses, a ordem não importa.

Resposta

\;t_{\text{total}}=\dfrac{7}{2}\,L\sqrt{\dfrac{\mu_{1}}{F}}\n
Não, a resposta não depende da ordem dos três trechos (assumindo tensão F constante e junções ideais).

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