Questão 1 (0,75 pontos)
Três partes de fio, cada uma de comprimento L, são ligadas em série por meio de suas extremidades formando um fio de comprimento igual a 3 L . A primeira parte do fio tem densidade linear
, a segunda tem densidade linear
e a terceira tem densidade linear
. (a) Se o fio combinado está sob tensão F , quanto tempo uma onda transversal leva para percorrer o comprimento total 3L? Forneça a resposta em função de L, F e
. (b) A resposta do item (a) depende da ordem em que os fios estão ligados? Explique.
Três partes de fio, cada uma de comprimento L, são ligadas em série por meio de suas extremidades formando um fio de comprimento igual a 3 L . A primeira parte do fio tem densidade linear
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede (tudo pegado do enunciado).
- Dados:
- Três partes de fio, cada uma de comprimento
, ligadas em série formando comprimento total . - Densidades lineares:
, , . - Tensão no fio todo:
(a mesma em toda a extensão).
- Três partes de fio, cada uma de comprimento
- Perguntas:
(a) Quanto tempo uma onda transversal leva para percorrer o comprimento total? Responder em função de , e .
(b) Essa resposta depende da ordem em que os três trechos estão ligados? Explique.
Passo 2
Conceito-chave (fórmula que vou usar) — velocidade de onda transversal em um fio esticado:
O que isso significa e por que usar:
-
é a velocidade de propagação da onda transversal ao longo do fio. -
é a tensão (força) aplicada no fio. -
é a densidade linear de massa do fio (massa por unidade de comprimento).
Explicação rápida e intuitiva: quanto maior a tensão, mais “esticado” está o fio e mais rápido a onda se propaga; quanto maior a massa por comprimento , mais lenta fica a resposta do fio, então a velocidade diminui. A fórmula vem da equação de onda para uma corda tensa (derivação padrão usando forças nas extremidades de um elemento e a segunda lei de Newton), mas aqui vamos usar o resultado.
Passo 3
Regra para tempo de percurso num trecho: se uma onda viaja a velocidade
por um trecho de comprimento
, o tempo para atravessar esse trecho é
Como os trechos estão em série e a onda percorre um após o outro, o tempo total é soma dos tempos em cada trecho:
onde
é a velocidade na i-ésima parte.
Passo 4
Calcular as velocidades em cada trecho usando
e as relações entre as
:
- Para o trecho 1 (densidade
): - Para o trecho 2 (densidade
): - Para o trecho 3 (densidade
):
Passo 5
Calcular os tempos parciais e somar:
- Tempo no trecho 1:
- Tempo no trecho 2:
- Tempo no trecho 3:
Somando:
É comum reescrever isolando a raiz de
:
Passo 6
Resposta à pergunta (b) sobre a ordem dos fios:
- A expressão usada para o tempo total foi a soma dos tempos em cada trecho:
. Como a soma de números não depende da ordem (comutatividade), e cada trecho tem comprimento fixo e velocidade determinada apenas pela sua , a ordem dos trechos não altera o valor da soma. - Observação importante (assunções): isso assume que a tensão
é a mesma em toda a extensão e que as junções entre trechos são ideais (não acrescentam atraso extra). Reflexões nas descontinuidades de impedância podem ocorrer, mas o tempo de trânsito da onda transmitida entre as extremidades é simplesmente a soma dos tempos nos trechos; portanto, sob essas hipóteses, a ordem não importa.
Resposta
Não, a resposta não depende da ordem dos três trechos (assumindo tensão