O seguinte conjunto de dados refere-se ao tempo de serviço numa empresa de 30 funcionários:
13 22 22 22 22 22 23 23 24 24 25 25 25 25 26
26 26 28 29 29 30 30 30 31 31 31 31 32 32 42
a) Complete a tabela abaixo
Média
Moda
Q_{1}\left(1^{\circ}\right. quartil )
Q_{2}\left(2^{\circ}\right. quartil )
Q_{3}\left(3^{\circ}\right. quartil )
b) Faça o histograma
c) Construa o boxplot e comente a respeito de possíveis valores extremos (outliers)

Passo 1

O enunciado dá os tempos de serviço (em anos) de 30 funcionários listados abaixo:
13,\;22,\;22,\;22,\;22,\;22,\;23,\;23,\;24,\;24,\;25,\;25,\;25,\;25,\;26, \;26,\;26,\;28,\;29,\;29,\;30,\;30,\;30,\;31,\;31,\;31,\;31,\;32,\;32,\;42
As perguntas são:
  1. Preencher a tabela com a média, a moda, Q_{1} (1º quartil), Q_{2} (mediana) e Q_{3} (3º quartil).
  2. Fazer o histograma (ou seja, escolher classes e informar as frequências para que você possa desenhar o histograma).
  3. Construir o boxplot e comentar sobre valores extremos (outliers).
As informações relevantes: lista completa dos 30 valores (acima) e que devemos usar as definições clássicas (média aritmética, moda por frequência, quartis com divisão em metades para n par, e critério de outlier via 1{,}5\cdot IQR).

Passo 2

Cálculo da média aritmética passo a passo e explicação da fórmula.
Fórmula da média amostral: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, onde n é o número de observações e x_i são os valores.
Vamos somar os valores agrupando por valor repetido (para não fazer conta item a item):
\begin{aligned} &13 = 13\\\ &22\times5 = 110\\\ &23\times2 = 46\\\ &24\times2 = 48\\\ &25\times4 = 100\\\ &26\times3 = 78\\\ &28 = 28\\\ &29\times2 = 58\\\ &30\times3 = 90\\\ &31\times4 = 124\\\ &32\times2 = 64\\\ &42 = 42 \end{aligned}
Somando tudo:
13+110+46+48+100+78+28+58+90+124+64+42 = 801.
Como n=30, a média é
\bar{x}=\frac{801}{30}=26{,}7.
Interpretação curta: a média é o valor “médio” obtido somando todos os tempos e dividindo por 30.

Passo 3

Cálculo da moda e explicação do conceito.
Definição: moda é o(s) valor(es) que apareceram com maior frequência na amostra.
Contagem rápida das frequências (já vista ao agrupar):
\begin{aligned} &13:1,\quad 22:5,\quad 23:2,\quad 24:2,\quad 25:4,\\\ &26:3,\quad 28:1,\quad 29:2,\quad 30:3,\quad 31:4,\quad 32:2,\quad 42:1. \end{aligned}
O maior número de ocorrências é 5 para o valor 22. Logo a moda é
\text{moda}=22.

Passo 4

Cálculo da mediana (Q_{2}) com explicação do método.
Definição: para n par, a mediana é a média entre as observações nas posições n/2 e n/2+1 quando os dados estão ordenados.
Aqui n=30, então usamos as posições 15 e 16.
Da lista ordenada:
\text{o }15^\circ\text{ valor}=26,\qquad \text{o }16^\circ\text{ valor}=26.
Logo
Q_{2}=\text{mediana}=\frac{26+26}{2}=26.

Passo 5

Cálculo de Q_{1} e Q_{3} explicando claramente o procedimento escolhido.
Método usado: para n par, dividimos os dados na metade inferior (posições 1 a 15) e na metade superior (posições 16 a 30); como cada metade tem 15 observações, seus quartis são as medianas dessas metades (posição central é a 8^\mathrm{a} de cada metade).
Metade inferior (posições 1 a 15): os elementos são
13,\;22,22,22,22,22,\;23,23,\;24,24,\;25,25,25,25,\;26
A mediana dessa metade é o 8^\mathrm{o} elemento da metade, que é 23. Portanto
Q_{1}=23.
Metade superior (posições 16 a 30): os elementos são
26,\;26,\;28,\;29,29,\;30,30,30,\;31,31,31,31,\;32,32,\;42
A mediana dessa metade é o 8^\mathrm{o} elemento da metade (posição 16+7=23 da amostra total), que é 30. Portanto
Q_{3}=30.

Passo 6

Cálculo do IQR, definição de limites para outliers e identificação dos outliers.
Definição: IQR = Q_{3}-Q_{1}. Outlier é qualquer observação menor que Q_{1}-1{,}5\cdot IQR ou maior que Q_{3}+1{,}5\cdot IQR.
Calculando:
IQR=30-23=7.
Limites:
\text{limite inferior}=Q_{1}-1{,}5\cdot IQR=23-1{,}5\cdot7=23-10{,}5=12{,}5,
\text{limite superior}=Q_{3}+1{,}5\cdot IQR=30+10{,}5=40{,}5.
Verificando os dados: o menor valor é 13 (maior que 12{,}5) e o maior valor é 42 (maior que 40{,}5). Assim há um outlier à direita: 42. Não há outliers à esquerda.

Passo 7

Preparação e instruções para o histograma (escolha de classes e frequências) — explico como desenhar.
Escolhi classes de amplitude 5 anos que cobrem todo o conjunto e são fáceis de desenhar; todas as classes têm mesma largura, então a altura de cada barra é a frequência absoluta.
Classes (intervalos) e frequências:
\begin{aligned} &[13,17]:\;1\quad(\text{valor }13)\\\ &[18,22]:\;5\quad(\text{os cinco }22)\\\ &[23,27]:\;11\quad(23,23,24,24,25,25,25,25,26,26,26)\\\ &[28,32]:\;12\quad(28,29,29,30,30,30,31,31,31,31,32,32)\\\ &[33,37]:\;0\\\ &[38,42]:\;1\quad(\text{valor }42) \end{aligned}
Como desenhar o histograma:
  • Eixo horizontal: classes [13,17], [18,22], [23,27], [28,32], [33,37], [38,42].
  • Eixo vertical: frequência absoluta (de 0 até 12 pelo menos).
  • Para cada classe desenhe uma barra com altura igual à frequência indicada acima.
  • Observação: como todas as classes têm mesma largura, não precisa ajustar por densidade — use simplesmente as frequências como alturas.

Passo 8

Construção do boxplot (passo a passo) e comentário sobre formato e outliers.
Cinco números resumo (summary):
\text{mínimo}=13,\quad Q_{1}=23,\quad Q_{2}=26,\quad Q_{3}=30,\quad \text{máximo}=42.íá
Para o boxplot usando o critério de outlier (whiskers até o maior/menor valor não-extremo):
  • O limite superior sem outliers é 40{,}5; o maior valor \le 40{,}5 na amostra é 32. Então o bigode (whisker) superior vai até 32.
  • O limite inferior sem outliers é 12{,}5; o menor valor \ge 12{,}5 é 13. Então o whisker inferior vai até 13.
  • Valores marcados como outliers: 42 (um ponto isolado à direita).
Descrição do boxplot:
  • Caixa (box) entre Q_{1}=23 e Q_{3}=30.
  • Linha dentro da caixa em Q_{2}=26.
  • Whiskers de 13 até 32.
  • Ponto isolado (outlier) em 42.
Comentário interpretativo e encorajador:
  • A distribuição tem uma cauda à direita (assimetria positiva) causada principalmente pelo valor 42, que é classificado como outlier pelo critério 1{,}5\cdot IQR.
  • Tirando esse outlier, os dados ficam concentrados entre cerca de 23 e 32 anos de serviço, com mediana 26.
  • Isso significa que a maioria dos funcionários tem tempos próximos de 26 anos, mas existe um funcionário com tempo de serviço bem maior ( 42 anos) que puxa a média para a direita (por isso média 26{,}7 é um pouco maior que a mediana 26).

Resposta

Média: \bar{x}=26{,}7
Moda: 22
Q_{1}=23
Q_{2}=26
Q_{3}=30
Histograma — classes e frequências: [13,17]:1;\;[18,22]:5;\;[23,27]:11;\;[28,32]:12;\;[33,37]:0;\;[38,42]:1
Boxplot — cinco números e outliers: mínimo 13, Q_{1}=23, mediana 26, Q_{3}=30, máximo 42; whiskers até 13 e 32 (maior não-outlier), outlier: 42.

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