O seguinte conjunto de dados refere-se ao tempo de serviço numa empresa de 30 funcionários:
13
22
22
22
22
22
23
23
24
24
25
25
25
25
26
26
26
28
29
29
30
30
30
31
31
31
31
32
32
42
a) Complete a tabela abaixo
Média
Moda
quartil
quartil
quartil
b) Faça o histograma
c) Construa o boxplot e comente a respeito de possíveis valores extremos (outliers)
| 13 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 23 | 23 | 24 | 24 | 25 | 25 | 25 | 25 | 26 |
| 26 | 26 | 28 | 29 | 29 | 30 | 30 | 30 | 31 | 31 | 31 | 31 | 32 | 32 | 42 |
| Média | |
| Moda | |
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|
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|
|
c) Construa o boxplot e comente a respeito de possíveis valores extremos (outliers)
Passo 1
O enunciado dá os tempos de serviço (em anos) de
funcionários listados abaixo:
As perguntas são:
- Preencher a tabela com a média, a moda,
(1º quartil), (mediana) e (3º quartil). - Fazer o histograma (ou seja, escolher classes e informar as frequências para que você possa desenhar o histograma).
- Construir o boxplot e comentar sobre valores extremos (outliers).
As informações relevantes: lista completa dos
valores (acima) e que devemos usar as definições clássicas (média aritmética, moda por frequência, quartis com divisão em metades para
par, e critério de outlier via
).
Passo 2
Cálculo da média aritmética passo a passo e explicação da fórmula.
Fórmula da média amostral:
, onde
é o número de observações e
são os valores.
Vamos somar os valores agrupando por valor repetido (para não fazer conta item a item):
Somando tudo:
Como
, a média é
Interpretação curta: a média é o valor “médio” obtido somando todos os tempos e dividindo por
.
Passo 3
Cálculo da moda e explicação do conceito.
Definição: moda é o(s) valor(es) que apareceram com maior frequência na amostra.
Contagem rápida das frequências (já vista ao agrupar):
O maior número de ocorrências é
para o valor
. Logo a moda é
Passo 4
Cálculo da mediana
com explicação do método.
Definição: para
par, a mediana é a média entre as observações nas posições
e
quando os dados estão ordenados.
Aqui
, então usamos as posições
e
.
Da lista ordenada:
Da lista ordenada:
Logo
Passo 5
Cálculo de
e
explicando claramente o procedimento escolhido.
Método usado: para
par, dividimos os dados na metade inferior (posições
a
) e na metade superior (posições
a
); como cada metade tem
observações, seus quartis são as medianas dessas metades (posição central é a
de cada metade).
Metade inferior (posições
a
): os elementos são
A mediana dessa metade é o
elemento da metade, que é
. Portanto
Metade superior (posições
a
): os elementos são
A mediana dessa metade é o
elemento da metade (posição
da amostra total), que é
. Portanto
Passo 6
Cálculo do
, definição de limites para outliers e identificação dos outliers.
Definição:
. Outlier é qualquer observação menor que
ou maior que
.
Calculando:
Limites:
Verificando os dados: o menor valor é
(maior que
) e o maior valor é
(maior que
). Assim há um outlier à direita:
. Não há outliers à esquerda.
Passo 7
Preparação e instruções para o histograma (escolha de classes e frequências) — explico como desenhar.
Escolhi classes de amplitude
anos que cobrem todo o conjunto e são fáceis de desenhar; todas as classes têm mesma largura, então a altura de cada barra é a frequência absoluta.
Classes (intervalos) e frequências:
Como desenhar o histograma:
- Eixo horizontal: classes
. - Eixo vertical: frequência absoluta (de
até pelo menos). - Para cada classe desenhe uma barra com altura igual à frequência indicada acima.
- Observação: como todas as classes têm mesma largura, não precisa ajustar por densidade — use simplesmente as frequências como alturas.
Passo 8
Construção do boxplot (passo a passo) e comentário sobre formato e outliers.
Cinco números resumo (summary):
Para o boxplot usando o critério de outlier (whiskers até o maior/menor valor não-extremo):
- O limite superior sem outliers é
; o maior valor na amostra é . Então o bigode (whisker) superior vai até . - O limite inferior sem outliers é
; o menor valor é . Então o whisker inferior vai até . - Valores marcados como outliers:
(um ponto isolado à direita).
Descrição do boxplot:
- Caixa (box) entre
e . - Linha dentro da caixa em
. - Whiskers de
até . - Ponto isolado (outlier) em
.
Comentário interpretativo e encorajador:
- A distribuição tem uma cauda à direita (assimetria positiva) causada principalmente pelo valor
, que é classificado como outlier pelo critério . - Tirando esse outlier, os dados ficam concentrados entre cerca de
e anos de serviço, com mediana . - Isso significa que a maioria dos funcionários tem tempos próximos de
anos, mas existe um funcionário com tempo de serviço bem maior ( anos) que puxa a média para a direita (por isso média é um pouco maior que a mediana ).
Resposta
Média:
Moda:
Moda:
Histograma — classes e frequências:
Boxplot — cinco números e outliers: mínimo ,
, mediana
,
, máximo
; whiskers até
e
(maior não-outlier), outlier:
.
Boxplot — cinco números e outliers: mínimo