1. Uma loja vende cinco produtos básicos \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E} . \mathrm{O} lucro por unidade comercializada destes produtos vale respectivamente \ 200,00 ; $300,00 ; $ 500,00 ; $1.000,00 ; $ 5.000,00 . A loja vendeu em determinado mêsê25 ; 15 ; 20 ; 10 ; 10$ unidades respectivamente. Qual foi o lucro médio por unidade comercializada por esta loja? Qual foi o lucro mediano?

Passo 1

O enunciado dá os lucros por unidade e as quantidades vendidas de cinco produtos:
\begin{aligned} &\text{Produtos: A, B, C, D, E}\\\ &\text{Lucro por unidade }(p_i):\; p_1=200,\; p_2=300,\; p_3=500,\; p_4=1000,\; p_5=5000\\\ &\text{Quantidades vendidas }(q_i):\; q_1=25,\; q_2=15,\; q_3=20,\; q_4=10,\; q_5=10 \end{aligned}
As perguntas são:
  1. Qual foi o lucro médio por unidade comercializada por esta loja?
  2. Qual foi o lucro mediano?

Passo 2

Vamos entender o que é pedido e as fórmulas que vamos usar, devagarinho e com carinho.
  • Lucro médio por unidade: é o lucro total dividido pelo número total de unidades vendidas. Se chamarmos total de unidades de N e o total de lucro de T, então
N=\sum_{i=1}^{5} q_i,\qquad T=\sum_{i=1}^{5} p_i q_i
e a média (lucro médio por unidade) é
\bar p=\frac{T}{N}.
Aqui p_i é o lucro de cada unidade do produto i e q_i é quantas unidades desse produto foram vendidas.
  • Mediana: ordenamos todas as unidades por seu lucro por unidade (cada unidade individualmente) e tomamos o valor central. Se o número total N for par, a mediana é a média dos dois valores centrais, isto é, dos elementos nas posições N/2 e N/2+1.

Passo 3

Calcular N (total de unidades) e T (total de lucro) passo a passo:
N = 25+15+20+10+10 = 80.
Agora cada contribuição ao lucro total:
\begin{aligned} &p_1 q_1 = 200\cdot 25 = 5000,\\\ &p_2 q_2 = 300\cdot 15 = 4500,\\\ &p_3 q_3 = 500\cdot 20 = 10000,\\\ &p_4 q_4 = 1000\cdot 10 = 10000,\\\ &p_5 q_5 = 5000\cdot 10 = 50000. \end{aligned}
Somando:
T = 5000+4500+10000+10000+50000 = 79500.
Agora aplicamos a fórmula da média:
\bar p=\frac{T}{N}=\frac{79500}{80} = 993{,}75.
Portanto, o lucro médio por unidade é \$\,993{,}75.

Passo 4

Calcular a mediana com cuidado (passo a passo, como no exame).
Primeiro, construímos as frequências acumuladas (cada linha mostra quantas unidades têm lucro até aquele produto, seguindo a ordem crescente de lucro):
\begin{aligned} &\text{até }p_1=200:\;25\\ (\text{unidades}),\\\ &\text{até }p_2=300:\;25+15=40,\\\ &\text{até }p_3=500:\;40+20=60,\\\ &\text{até }p_4=1000:\;60+10=70,\\\ &\text{até }p_5=5000:\;70+10=80. \end{aligned}ééééé
Temos N=80 (par). As posições centrais são N/2=40 e N/2+1=41. Precisamos ver qual lucro corresponde à unidade na posição 40 e à unidade na posição 41.
  • A posição 40 cai justamente no final do grupo com lucro \;300 (porque a frequência acumulada até 300 é 40).
  • A posição 41 é a primeira do próximo grupo, que tem lucro \;500 (porque a próxima faixa, até 500, começa na 41ª unidade).
Como N é par, a mediana é a média dos valores nas posições 40 e 41:
\text{mediana} = \frac{300+500}{2} = 400.
Logo, o lucro mediano é \$\,400{,}00.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (útil e tranquilo):
  • Para média ponderada: sempre some p_i q_i para obter o total e divida pelo total de observações N. Mostre essa conta, ponto por ponto.
  • Para mediana em tabela de frequências: calcule a frequência acumulada e localize as posições N/2 e N/2+1 (se N par) ou (N+1)/2 (se N ímpar). Não esquece: a posição indica a unidade ordenada, não um produto diretamente se houver repetições — por isso a cumulativa é essencial.
Vai ficar tudo bem — com calma e praticando esse tipo de conta você resolve isso na prova 😃

Resposta

Lucro médio por unidade: \$\,993{,}75
Lucro mediano: \$\,400{,}00

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