Uma empresa resolveu aumentar o salário de todos os seus funcionários em \mathrm{R} \ 100,00$ por mês. Em relação ao mês anterior:
I - O salário médio sobe R$ 100,00, enquanto o desvio-padrão dos salários diminui, pois, a média aumenta.
II - Tanto o salário médio quanto o desvio-padrão dos salários aumentam.
III - O salário médio sobe R$ 100,00, enquanto o desvio-padrão dos salários permanece igual.
IV - O coeficiente de variação não se altera.
a) Apenas I é correta.
b) Apenas a II é correta.
c) Apenas III é correta.
d) Apenas III e IV estão corretas
e) Todas as alternativas estão incorretas
Passo 1
O enunciado diz que a empresa aumentou o salário de todos os empregados em \mathrm{R}\$\;100{,}00 por mês. Precisamos avaliar quais das afirmações I–IV são verdadeiras depois desse aumento:
I - O salário médio sobe \mathrm{R}\$\;100{,}00, enquanto o desvio-padrão dos salários diminui, pois a média aumenta.
II - Tanto o salário médio quanto o desvio-padrão dos salários aumentam.
III - O salário médio sobe \mathrm{R}\$\;100{,}00, enquanto o desvio-padrão dos salários permanece igual.
IV - O coeficiente de variação não se altera.
A tarefa final é indicar qual alternativa (a)–(e) está correta, ou seja, quais afirmações entre I–IV são verdadeiras.
Passo 2
Primeiro, vou lembrar e demonstrar as fórmulas e conceitos que vamos usar — com calma, passo a passo.
Definição da média (média aritmética) de n salários x_1,x_2,\dots,x_n:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui \bar{x} é o salário médio antes do aumento.
Definição do desvio-padrão (uso a fórmula baseada em n, que basta para nosso raciocínio):
O desvio-padrão s_x mede a dispersão (o “espalhamento”) dos salários em torno da média \bar{x}.
Agora considere que a empresa adiciona uma constante c=\mathrm{R}\$\;100{,}00 a cada salário. Definimos os novos salários y_i=x_i+c. Vamos ver o que acontece com média e desvio-padrão.
A adição da mesma constante a todos os valores cancela-se ao subtrair a nova média, então as diferenças x_i-\bar{x} permanecem iguais — logo o desvio-padrão permanece exatamente o mesmo.
Resumo desta etapa: adicionar uma constante a todos os salários aumenta a média por essa constante e não altera o desvio-padrão.
Passo 3
Agora avaliamos as afirmações I, II e III usando o resultado acima.
I - Diz que a média sobe \mathrm{R}\$\;100{,}00 (isso está correto), mas afirma que o desvio-padrão diminui “pois a média aumenta”. Pelo cálculo anterior vimos que o desvio-padrão permanece igual; não há razão matemática para que diminua apenas porque a média aumentou — as distâncias relativas ao novo centro mantêm-se. Conclusão: a primeira parte é correta (média +100), a parte sobre o desvio-padrão diminuir é falsa. Assim a afirmação I é falsa.
II - Afirma que tanto a média quanto o desvio-padrão aumentam. Da demonstração no Passo 2, a média aumenta mas o desvio-padrão NÃO muda. Portanto II é falsa.
III - Afirma que a média sobe \mathrm{R}\$\;100{,}00 e o desvio-padrão permanece igual. Isso é exatamente o que provamos: média aumenta em c e s_y=s_x. Portanto a afirmação III é verdadeira.
Passo 4
Agora tratamos a afirmação IV sobre o coeficiente de variação (CV). Definição do coeficiente de variação:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}},
onde s é o desvio-padrão e \bar{x} é a média (pode-se multiplicar por 100\% para obter percentagem, mas a razão é o essencial).
Depois do aumento, o desvio-padrão ficou igual (s_y=s_x), a média passou a \bar{y}=\bar{x}+c. Então o novo CV é
Comparando com o CV antigo \text{CV}_\text{antigo}=\dfrac{s_x}{\bar{x}}, vemos que em geral
\frac{s_x}{\bar{x}+c}\neq\frac{s_x}{\bar{x}},
ou seja, o coeficiente de variação muda (a não ser em casos degenerados, por exemplo se s_x=0 todos salários iguais — aí CV é zero antes e depois). Em termos práticos, como a média aumentou e s ficou constante, o numerador fixo dividido por um denominador maior dá um valor menor: o CV tende a diminuir.
Para fixar com um exemplo numérico (mostrando passo a passo para a prova): suponha dois salários x_1=\;1000 e x_2=\;2000. Então
\bar{x}=\frac{1000+2000}{2}=1500.
O desvio-padrão (com divisor n=2, só para ilustrar) é
Adicionando c=\;100 a cada salário, novos salários 1100 e 2100, nova média \bar{y}=1600 e s_y=500 (igual). O novo CV é
\text{CV}_\text{novo}=\frac{500}{1600}=0{,}3125,
que é diferente de 0{,}333. Logo a afirmação IV “o coeficiente de variação não se altera” é falsa em geral.
Um ponto útil para lembrar na prova (dica prática): multiplicar todos os dados por uma constante escala tanto a média quanto o desvio-padrão (ambos multiplicados pela constante), então o CV permanece inalterado; já adicionar uma constante desloca a média mas não altera o desvio-padrão, portanto o CV muda em geral.
Passo 5
Conclusão lógica das análises: apenas a afirmação III é verdadeira; I, II e IV são falsas.