- A tabela abaixo representa a distribuição de frequências da idade dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinada Faculdade, em anos.
Idade (anos)
de alunos
17
5
18
18
19
17
20
8
21
4
Total
Com base nessas informações, pede-se:
a. Calcule a idade média e a idade mediana. Interprete
b. Determine a moda e interprete.
c. Calcule os quartis e interprete.
d. Determine os percentis
e
e interprete.
e. Calcule a variância e o desvio-padrão.
| Idade (anos) |
|
||
| 17 | 5 | ||
| 18 | 18 | ||
| 19 | 17 | ||
| 20 | 8 | ||
| 21 | 4 | ||
| Total |
a. Calcule a idade média e a idade mediana. Interprete
b. Determine a moda e interprete.
c. Calcule os quartis e interprete.
d. Determine os percentis
e. Calcule a variância e o desvio-padrão.
Passo 1
O enunciado fornece a distribuição por idade (em anos) dos alunos de uma turma e pede várias medidas descritivas. Dados fornecidos:
Perguntas:
a. Calcular a idade média e a idade mediana e interpretar.
b. Determinar a moda e interpretar.
c. Calcular os quartis e interpretar.
d. Determinar os percentis e
e interpretar.
e. Calcular a variância e o desvio-padrão.
a. Calcular a idade média e a idade mediana e interpretar.
b. Determinar a moda e interpretar.
c. Calcular os quartis e interpretar.
d. Determinar os percentis
e. Calcular a variância e o desvio-padrão.
Passo 2
Calcular a idade média (explicando a fórmula e fazendo as contas passo a passo).
Definição e fórmula: a média aritmética de uma variável discreta com frequências é
onde
são os valores (idades),
as frequências e
é o total de observações.
Vamos calcular
e
.
Cálculo de
:
Cálculo de
(fazendo cada produto e somando):
Somando:
Agora a média:
Interpretação rápida (vou detalhar mais nas respostas): a média é a idade “média” aritmética da turma, cerca de
anos.
Passo 3
Calcular a mediana (explicando o conceito e o procedimento).
Definição: a mediana é o valor que divide a distribuição ao meio; em termos de posições (ordenando dos menores para os maiores), é o elemento central. Para
par, a mediana é a média entre a observação de posição
e a observação de posição
.
Construímos as frequências cumulativas para localizar as posições:
Como
é par, as posições medianas são
e
. Observando as posições acima, as observações
e
estão na faixa de idade
(pois as posições
a
correspondem a
). Portanto a mediana é
Interpretação rápida: metade dos alunos tem idade menor ou igual a
anos e metade tem idade maior ou igual a
anos.
Passo 4
Determinar a moda (definição e identificação).
Definição: a moda é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição.
Olhando as frequências:
. A maior frequência é
que corresponde à idade
.
Logo,
Interpretação: a idade mais comum na turma é
anos.
Passo 5
Calcular os quartis (definição, fórmula de posição e aplicação).
Definição e método de posição (método
): a posição do
-ésimo quartil é
Aqui
, então
.
-
Para
: (13,25ª observação). A posição 13,25 está na faixa de idade (posições 6 a 23). Portanto . -
Para
temos o próprio mediana já calculada: . -
Para
: (39,75ª observação). A posição 39,75 está na faixa de idade (posições 24 a 40). Portanto .
Interpretação: 25% das observações estão em idades
, 50% estão
, e 75% estão
. Observação: o terceiro quartil igual ao segundo indica que a distribuição tem muitas observações iguais em torno de 19.
Passo 6
Determinar os percentis
e
(definição, fórmula de posição e cálculo com interpolação).
Fórmula da posição do percentil
:
Com
:
- Para
:
Isto significa que o
está entre a 5ª e a 6ª observação. A 5ª observação é idade
(última de 17) e a 6ª é idade
(primeira de 18). Podemos interpolar linearmente entre esses valores: a fração dentro do intervalo é
. Como o incremento entre idades é
ano,
- Para
:
A posição 47,7 está entre a 47ª e a 48ª observação. Observando as posições, as observações 41 a 48 são todas idade
. Logo tanto a 47ª quanto a 48ª são
, de modo que
Interpretação: cerca de
dos alunos têm idade menor ou igual a
anos (na prática: a maioria dos 10% mais jovens tem 17 anos, o valor interpolado é
) e
têm idade menor ou igual a
anos (portanto os
mais velhos têm
anos ou mais).
Passo 7
Calcular a variância e o desvio-padrão (explicando as fórmulas e fazendo as contas).
Estamos tratando da turma inteira (população), portanto usamos a fórmula da variância populacional:
onde
é a soma dos quadrados ponderados,
o total e
a média já calculada.
Calcular
(faça cada termo):
Somando:
Calculando a média dos quadrados:
Já temos
e
Agora a variância:
E o desvio-padrão (raiz quadrada da variância):
Interpretação: o desvio-padrão de aproximadamente
anos indica que as idades tendem a variar em torno da média em cerca de um ano (dispersão pequena).
Resposta
a. Idade média:
anos; Idade mediana:
anos
b. Moda:
anos
c. Quartis:
,
,
d. Percentis:
anos;
anos
e. Variância:
; Desvio-padrão:
anos