1. A tabela abaixo representa a distribuição de frequências da idade dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinada Faculdade, em anos.
Idade (anos)
\mathrm{N}^{\mathrm{o}} de alunos
\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}
17 5
18 18
19 17
20 8
21 4
Total
Com base nessas informações, pede-se:
a. Calcule a idade média e a idade mediana. Interprete
b. Determine a moda e interprete.
c. Calcule os quartis e interprete.
d. Determine os percentis 10 \% e 90 \% e interprete.
e. Calcule a variância e o desvio-padrão.

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição por idade (em anos) dos alunos de uma turma e pede várias medidas descritivas. Dados fornecidos:
\begin{array}{c|c} \text{Idade (anos)} & f_i \\\ \hline 17 & 5\\\\ 18 & 18\\\\ 19 & 17\\\\ 20 & 8\\\\ 21 & 4 \end{array}
Perguntas:
a. Calcular a idade média e a idade mediana e interpretar.
b. Determinar a moda e interpretar.
c. Calcular os quartis e interpretar.
d. Determinar os percentis 10\% e 90\% e interpretar.
e. Calcular a variância e o desvio-padrão.

Passo 2

Calcular a idade média (explicando a fórmula e fazendo as contas passo a passo).
Definição e fórmula: a média aritmética de uma variável discreta com frequências é
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{N},
onde x_i são os valores (idades), f_i as frequências e N=\sum_i f_i é o total de observações.
Vamos calcular N e \sum_i f_i x_i.
Cálculo de N:
N=5+18+17+8+4=52.
Cálculo de \sum_i f_i x_i (fazendo cada produto e somando):
\begin{aligned} 17\cdot5&=85,\\\\ 18\cdot18&=324,\\\\ 19\cdot17&=323,\\\\ 20\cdot8&=160,\\\\ 21\cdot4&=84. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i=85+324+323+160+84=976.
Agora a média:
\bar{x}=\frac{976}{52}=\frac{244}{13}\approx 18,769\\ (\text{anos}).
Interpretação rápida (vou detalhar mais nas respostas): a média é a idade “média” aritmética da turma, cerca de 18{,}77 anos.

Passo 3

Calcular a mediana (explicando o conceito e o procedimento).
Definição: a mediana é o valor que divide a distribuição ao meio; em termos de posições (ordenando dos menores para os maiores), é o elemento central. Para N par, a mediana é a média entre a observação de posição N/2 e a observação de posição N/2+1.
Construímos as frequências cumulativas para localizar as posições:
\begin{aligned} \text{Idade }17 &: \text{freq. }5 \quad(\text{posições }1\text{ a }5)\\\ \text{Idade }18 &: \text{freq. }18 \quad(\text{posições }6\text{ a }23)\\\ \text{Idade }19 &: \text{freq. }17 \quad(\text{posições }24\text{ a }40)\\\ \text{Idade }20 &: \text{freq. }8 \quad(\text{posições }41\text{ a }48)\\\ \text{Idade }21 &: \text{freq. }4 \quad(\text{posições }49\text{ a }52) \end{aligned}çõçõçõçõçõ
Como N=52 é par, as posições medianas são 26 e 27. Observando as posições acima, as observações 26 e 27 estão na faixa de idade 19 (pois as posições 24 a 40 correspondem a 19). Portanto a mediana é
\text{mediana}=19\\ (\text{anos}).
Interpretação rápida: metade dos alunos tem idade menor ou igual a 19 anos e metade tem idade maior ou igual a 19 anos.

Passo 4

Determinar a moda (definição e identificação).
Definição: a moda é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição.
Olhando as frequências: f_{17}=5,\\ f_{18}=18,\\ f_{19}=17,\\ f_{20}=8,\\ f_{21}=4. A maior frequência é 18 que corresponde à idade 18.
Logo,
\text{moda}=18\\ (\text{anos}).
Interpretação: a idade mais comum na turma é 18 anos.

Passo 5

Calcular os quartis (definição, fórmula de posição e aplicação).
Definição e método de posição (método (N+1)): a posição do k-ésimo quartil é
\text{pos}(Q_k)=\frac{k(N+1)}{4},\quad k=1,2,3.
Aqui N=52, então N+1=53.
  • Para Q_1: \text{pos}(Q_1)=\dfrac{1\cdot53}{4}=13{,}25 (13,25ª observação). A posição 13,25 está na faixa de idade 18 (posições 6 a 23). Portanto Q_1=18.
  • Para Q_2 temos o próprio Q_2= mediana já calculada: Q_2=19.
  • Para Q_3: \text{pos}(Q_3)=\dfrac{3\cdot53}{4}=39{,}75 (39,75ª observação). A posição 39,75 está na faixa de idade 19 (posições 24 a 40). Portanto Q_3=19.
Interpretação: 25% das observações estão em idades \le 18, 50% estão \le 19, e 75% estão \le 19. Observação: o terceiro quartil igual ao segundo indica que a distribuição tem muitas observações iguais em torno de 19.

Passo 6

Determinar os percentis 10\% e 90\% (definição, fórmula de posição e cálculo com interpolação).
Fórmula da posição do percentil p\%:
\text{pos}(P_p)=\frac{p(N+1)}{100}.
Com N+1=53:
  • Para P_{10}:
\text{pos}(P_{10})=\frac{10\cdot53}{100}=5{,}3.
Isto significa que o 10\% está entre a 5ª e a 6ª observação. A 5ª observação é idade 17 (última de 17) e a 6ª é idade 18 (primeira de 18). Podemos interpolar linearmente entre esses valores: a fração dentro do intervalo é 5{,}3-5=0{,}3. Como o incremento entre idades é 1 ano,
P_{10}\approx 17 + 0{,}3\cdot(18-17)=17{,}3\\ (\text{anos}).
  • Para P_{90}:
\text{pos}(P_{90})=\frac{90\cdot53}{100}=47{,}7.
A posição 47,7 está entre a 47ª e a 48ª observação. Observando as posições, as observações 41 a 48 são todas idade 20. Logo tanto a 47ª quanto a 48ª são 20, de modo que
P_{90}=20\\ (\text{anos}).
Interpretação: cerca de 10\% dos alunos têm idade menor ou igual a 17{,}3 anos (na prática: a maioria dos 10% mais jovens tem 17 anos, o valor interpolado é 17{,}3) e 90\% têm idade menor ou igual a 20 anos (portanto os 10\% mais velhos têm 20 anos ou mais).

Passo 7

Calcular a variância e o desvio-padrão (explicando as fórmulas e fazendo as contas).
Estamos tratando da turma inteira (população), portanto usamos a fórmula da variância populacional:
\sigma^2=\frac{\sum_i f_i x_i^2}{N}-\bar{x}^{\,2},
onde \sum_i f_i x_i^2 é a soma dos quadrados ponderados, N o total e \bar{x} a média já calculada.
Calcular \sum_i f_i x_i^2 (faça cada termo):
\begin{aligned} 17^2\cdot5&=289\cdot5=1445,\\\\ 18^2\cdot18&=324\cdot18=5832,\\\\ 19^2\cdot17&=361\cdot17=6137,\\\\ 20^2\cdot8&=400\cdot8=3200,\\\\ 21^2\cdot4&=441\cdot4=1764. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i^2=1445+5832+6137+3200+1764=18378.
Calculando a média dos quadrados:
\frac{\sum_i f_i x_i^2}{N}=\frac{18378}{52}\approx 353{,}423.
Já temos \bar{x}=\dfrac{244}{13} e
\bar{x}^{\,2}=\left(\frac{244}{13}\right)^2=\frac{59536}{169}\approx 352{,}283.
Agora a variância:
\sigma^2=\frac{18378}{52}-\left(\frac{244}{13}\right)^2\approx 353{,}423-352{,}283\approx 1{,}140\\ (\text{anos}^2).
E o desvio-padrão (raiz quadrada da variância):
\sigma=\sqrt{\sigma^2}\approx\sqrt{1{,}139645}\approx 1{,}068\\ (\text{anos}).
Interpretação: o desvio-padrão de aproximadamente 1{,}07 anos indica que as idades tendem a variar em torno da média em cerca de um ano (dispersão pequena).

Resposta

a. Idade média: \bar{x}=\dfrac{976}{52}=\dfrac{244}{13}\approx 18{,}769 anos; Idade mediana: 19 anos
b. Moda: 18 anos
c. Quartis: Q_1=18, Q_2=19, Q_3=19
d. Percentis: P_{10}\approx 17{,}3 anos; P_{90}=20 anos
e. Variância: \sigma^2\approx 1{,}140\\ \text{anos}^2; Desvio-padrão: \sigma\approx 1{,}068 anos

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