O seguinte conjunto de dados representa uma amostra (n=40) do tempo entre chegadas (X) de veículos em um determinado cruzamento, com aproximação até décimos do minuto:
2,2 0,6 0,1 2,9 1,8 0,3 3,9 4,2 1,3 0,6 1,2
1,2 0,8 1,0 0,3 2,2 2,6 0,4 1,6 1,9 0,9 0,6
0,3 0,5 1,2 1,3 0,2 0,1 0,1 1,2 3,2 1,6 0,5
1,3 1,1 1,4 1,0 0,1 0,4 0,6
Observações:
  • Utilize 5 intervalos de classe;
  • Amplitude da classe igual a 1 ;
  • Limite inferior da primeira classe igual a 0 ;
  • Intervalos fechados à esquerda e abertos à direita.
    Construa uma tabela de distribuição de frequências para X.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • O enunciado pede: construir uma tabela de distribuição de frequências para a variável tempo entre chegadas X usando 5 intervalos de classe, amplitude da classe igual a 1, limite inferior da primeira classe igual a 0 e intervalos fechados à esquerda e abertos à direita.
  • Tamanho da amostra: n=40.
  • A amostra (copiada do enunciado) é:
\begin{aligned} &2,2,\;0,6,\;0,1,\;2,9,\;1,8,\;0,3,\;3,9,\;4,2,\;1,3,\;0,6,\;1,2,\\\ &1,2,\;0,8,\;1,0,\;0,3,\;2,2,\;2,6,\;0,4,\;1,6,\;1,9,\;0,9,\;0,6,\\\ &0,3,\;0,5,\;1,2,\;1,3,\;0,2,\;0,1,\;0,1,\;1,2,\;3,2,\;1,6,\;0,5,\\\ &1,3,\;1,1,\;1,4,\;1,0,\;0,1,\;0,4,\;0,6. \end{aligned}

Passo 2

Definir as classes conforme as regras dadas.
  • Amplitude da classe (largura): \Delta=1.
  • Limite inferior da primeira classe: L_1=0.
  • Intervalos fechados à esquerda e abertos à direita.
As classes, usando \Delta=1, são:
[0,1),\quad[1,2),\quad[2,3),\quad[3,4),\quad[4,5).
Uma forma geral para a i-ésima classe é
\big[L_1+(i-1)\Delta,\;L_1+i\Delta\big),\quad i=1,\dots,5.

Passo 3

Definir as medidas que vamos calcular e as fórmulas (com explicação didática).
  • Frequência absoluta da i-ésima classe: f_i. É simplesmente o número de observações x tais que x pertence àquela classe.
  • Frequência relativa da i-ésima classe: f_{rel,i}=\dfrac{f_i}{n}. Explica a proporção da amostra na classe.
  • Frequência acumulada absoluta até a i-ésima classe: F_i=\sum_{j=1}^{i} f_j.
  • Frequência acumulada relativa: H_i=\sum_{j=1}^{i} f_{rel,j}=\dfrac{F_i}{n}.
Vou aplicar essas definições concretamente: contar f_i para cada classe e depois calcular f_{rel,i}, F_i e H_i.

Passo 4

Contagem das observações em cada classe (mostrando quais observações caem em cada classe).
Lembrete: como os intervalos são [a,b), um valor igual a 1,0 pertence à classe [1,2), e um valor 0,6 pertence a [0,1).
  • Observações em [0,1):
0,6,\;0,1,\;0,3,\;0,6,\;0,8,\;0,3,\;0,4,\;0,9,\;0,6,\;0,3,\;0,5,\;0,2,\;0,1,\;0,1,\;0,5,\;0,1,\;0,4,\;0,6
Contando: f_1=18.
  • Observações em [1,2):
1,8,\;1,3,\;1,2,\;1,2,\;1,0,\;1,6,\;1,9,\;1,2,\;1,3,\;1,2,\;1,6,\;1,3,\;1,1,\;1,4,\;1,0
Contando: f_2=15.
  • Observações em [2,3):
2,2,\;2,9,\;2,2,\;2,6
Contando: f_3=4.
  • Observações em [3,4):
3,9,\;3,2
Contando: f_4=2.
  • Observações em [4,5):
4,2
Contando: f_5=1.
Verificação rápida: \sum_{i=1}^{5} f_i = 18+15+4+2+1 = 40 = n. Tudo consistente.

Passo 5

Calcular as frequências relativas e acumuladas.
  • Para [0,1):
f_1=18,\qquad f_{rel,1}=\dfrac{18}{40}=0,45=45\%,\qquad F_1=18,\qquad H_1=0,45.
  • Para [1,2):
f_2=15,\qquad f_{rel,2}=\dfrac{15}{40}=0,375=37,5\%,\qquad F_2=18+15=33,\qquad H_2=0,45+0,375=0,825.
  • Para [2,3):
f_3=4,\qquad f_{rel,3}=\dfrac{4}{40}=0,10=10\%,\qquad F_3=33+4=37,\qquad H_3=0,825+0,10=0,925.
  • Para [3,4):
f_4=2,\qquad f_{rel,4}=\dfrac{2}{40}=0,05=5\%,\qquad F_4=37+2=39,\qquad H_4=0,925+0,05=0,975.
  • Para [4,5):
f_5=1,\qquad f_{rel,5}=\dfrac{1}{40}=0,025=2,5\%,\qquad F_5=39+1=40,\qquad H_5=0,975+0,025=1,0.
Checagem final: \sum f_{rel,i}=0,45+0,375+0,10+0,05+0,025=1,0 e F_5=n=40.

Passo 6

Apresentação final organizada (tabela em linhas). A tabela contém: classe, f (frequência absoluta), f_{rel} (frequência relativa), F (frequência acumulada absoluta) e H (frequência acumulada relativa).

Resposta

[0,1):\; f=18,\; f_{rel}=\dfrac{18}{40}=0,45\;(45\%),\; F=18,\; H=0,45
[1,2):\; f=15,\; f_{rel}=\dfrac{15}{40}=0,375\;(37,5\%),\; F=33,\; H=0,825
[2,3):\; f=4,\; f_{rel}=\dfrac{4}{40}=0,10\;(10\%),\; F=37,\; H=0,925
[3,4):\; f=2,\; f_{rel}=\dfrac{2}{40}=0,05\;(5\%),\; F=39,\; H=0,975
[4,5):\; f=1,\; f_{rel}=\dfrac{1}{40}=0,025\;(2,5\%),\; F=40,\; H=1,0

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