Nos exercícios 13 a 16 verifique que a equação é de variáveis separáveis e resolva-a.
x y \frac{d y}{d x}=\left(1+x^{2}\right) \csc y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y\,\frac{dy}{dx} = \bigl(1+x^{2}\bigr)\csc y
e pede para verificar que é de variáveis separáveis e resolvê-la. Vamos usar separação de variáveis e integrações elementares.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma \frac{dy}{dx} = \cdots. Dividindo por x\,y e usando \csc y = 1/\sin y, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{1+x^{2}}{x\,y}\,\csc y = \frac{1+x^{2}}{x\,y\,\sin y}.
Agora multiplicamos ambos os lados por y\sin y e por dx para separar as variáveis:
y\,\sin y\,dy = \frac{1+x^{2}}{x}\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int y\,\sin y\,dy = \int \frac{1+x^{2}}{x}\,dx.
O lado esquerdo exige integração por partes, o direito é imediato.

Passo 4

Para o lado esquerdo, use u=y, dv=\sin y\,dy. Então du=dy e v=-\cos y. Logo
\int y\,\sin y\,dy = -y\cos y - \int(-\cos y)\,du = -y\cos y + \int \cos y\,dy = -y\cos y + \sin y.

Passo 5

Para o lado direito, separamos a fração:
\int \frac{1+x^{2}}{x}\,dx = \int\Bigl(\frac1x + x\Bigr)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx + \int x\,dx = \ln\lvert x\rvert + \frac{x^{2}}{2}.

Passo 6

Igualando as duas primitivas e acrescentando a constante geral C, obtemos a solução implícita
-y\cos y + \sin y = \ln\lvert x\rvert + \frac{x^{2}}{2} + C.
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

-y\cos y + \sin y = \ln\lvert x\rvert + \frac{x^{2}}{2} + C.

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