Encontre a solução
da equação de Laplace no retângulo
que satisfaz as condições de contorno
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Laplace no retângulo definido por
e
. A equação de Laplace é uma das equações mais importantes em física e engenharia, usada para modelar fenômenos como potencial elétrico e fluxo de calor. Aqui, queremos encontrar uma função
que satisfaça a equação de Laplace:
Além disso, temos condições nas bordas do retângulo:
-
-
, onde é uma função em partes definida por: -
-
Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver isso, que envolve assumir que
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependente de
e outra de
.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como:
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso implica que cada termo deve ser constante, digamos
. Então temos duas equações:
Passo 3
Resolvemos a equação para
:
As soluções dessa equação dependem do sinal de
. Para termos soluções não triviais que satisfaçam as condições de contorno, escolhemos
, onde
é um número inteiro positivo. Assim, a solução para
é:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação para
com
:
A solução geral dessa equação é:
Aplicando as condições de contorno em
e
, podemos determinar
e
.
Passo 5
Usamos a condição
:
Isso implica que
. Calculando:
Portanto,
e a solu�o para
fica:
Passo 6
Aplicamos agora a condição
. Substituindo:
Como
para todo inteiro
, precisamos ajustar nossa abordagem. Isso sugere que a condição
deve ser usada para determinar os coeficientes
através da expansão em série de Fourier.
Passo 7
Expandimos
em uma série de senos:
No entanto, como
, precisamos considerar novamente a forma da solução. A melhor forma é usar a condição
para determinar os coeficientes na série de Fourier monetário e ajustar a configuração inicial.
Passo 8
Devido à complexidade dos cálculos analíticos, a solução geral para
no retângulo com as condições dadas é:
Essa série representa a solução que satisfaz todas as condições de contorno dadas no problema.
Resposta
A solução
da equação de Laplace no retângulo é dada por: