A seguinte equação tem sido proposta para modelar a velocidade de um barco a remos em movimento:
onde
denota a velocidade do barco no tempo
corresponde a massa e
e
são constantes positivas descrevendo outros aspectos do barco, da agua e da pessoa remando. Determine, classifique e interprete as soluções de equilibrio neste contexto.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem que regula a velocidade
de um barco a remos:
onde
. Queremos encontrar as soluções de equilíbrio (
), classificá-las (estáveis ou instáveis) e interpretar fisicamente o resultado.
Passo 2
Para achar o(s) equilíbrio(s), colocamos
. Assim, da equação original sobra
Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
) obtemos
Não há outro equilíbrio real além desse
(o caso
não se sustenta pois a equação diverge em
).
Passo 3
Para classificar a estabilidade de
, linearizamos a EDO em torno de
. Definimos
então
Avalia-mos em
. Como
, tem-se
logo
Como
, o equilíbrio
é assintótica-mente estável.
Passo 4
Interpretação física:
é a velocidade terminal em que a potência de remada (
) se equilibra com a resistência hidrodinâmica (
). Se
, a força de remada vence o arrasto e o barco acelera; se
, o arrasto domina e o barco desacelera, de modo que
converge para
.
Resposta
O único equilíbrio físico é
ele é assintoticamente estável. Fisicamente, é a velocidade terminal do barco, atraindo as soluções iniciais positivas.