A seguinte equação tem sido proposta para modelar a velocidade de um barco a remos em movimento:
M d Vd t=8 PV-b s V^2
onde V(t) denota a velocidade do barco no tempo t, M corresponde a massa e P, b e s são constantes positivas descrevendo outros aspectos do barco, da agua e da pessoa remando. Determine, classifique e interprete as soluções de equilibrio neste contexto.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem que regula a velocidade V(t) de um barco a remos:
M ,dVdt ;=;8PV;-;b,s,V^2,
onde M,P,b,s>0. Queremos encontrar as soluções de equilíbrio ( dV/dt=0), classificá-las (estáveis ou instáveis) e interpretar fisicamente o resultado.

Passo 2

Para achar o(s) equilíbrio(s), colocamos dV/dt=0. Assim, da equação original sobra
8PV-b,s,V^2=0
Multiplicando ambos os lados por V (assumindo Vneq0) obtemos
8P - b,s,V^3=0 Longrightarrow V^3 = 8Pb,s Longrightarrow V^* = l(8Pb,sr)^1/3
Não há outro equilíbrio real além desse V^*>0 (o caso V=0 não se sustenta pois a equação diverge em V=0).

Passo 3

Para classificar a estabilidade de V^*, linearizamos a EDO em torno de V^*. Definimos
f(V)=1Ml(8PV-b,s,V^2r),
então
f'(V)=1Ml(-8P,V^-2-2b,s,Vr)
Avalia-mos em V=V^*. Como b,s,(V^*)^3=8P, tem-se
-8P,(V^*)^-2 ;=;-b,s,V^*,
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f'(V^*) =1Ml(-b,s,V^*-2b,s,V^*r) =-3b,s,V^*M<0
Como f'(V^*)<0, o equilíbrio V^* é assintótica-mente estável.

Passo 4

Interpretação física: V^*=(8P/(b,s))^1/3 é a velocidade terminal em que a potência de remada ( propto P) se equilibra com a resistência hidrodinâmica ( propto b,s,V^2). Se V<V^*, a força de remada vence o arrasto e o barco acelera; se V>V^*, o arrasto domina e o barco desacelera, de modo que V converge para V^*.

Resposta

O único equilíbrio físico é
V^*=l(8Pb,sr)^1/3,
ele é assintoticamente estável. Fisicamente, é a velocidade terminal do barco, atraindo as soluções iniciais positivas.

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