Para que valores de k os pontos (2,-3), (4,3) e (5, k2) são vértices de um triângulo?

Passo 1

Temos os pontos P₁(2, −3), P₂(4, 3) e P₃ 5, tfrack2. Queremos saber para quais valores de k eles formam um triângulo, isto é, não são colineares. O conteúdo é colinearidade de pontos em geometria analítica e vamos usar o teste da área via determinante.

Passo 2

Três pontos são colineares se a área do triângulo que formam for zero. Podemos calcular essa área usando o determinante:
det = x1 & y1 & 1 x2 & y2 & 1 x3 & y3 & 1
Se det = 0, os pontos estão na mesma reta; caso contrário, formam um triângulo.

Passo 3

Substituindo as coordenadas x1 = 2, y1 = -3; x2 = 4, y2 = 3; x3 = 5, y3 = tfrack2 no determinante, obtemos:
det = 2l(3 - tfrack2r) + 4l(tfrack2 - (-3)r) + 5l((-3) - 3r)

Passo 4

Calculando cada termo: o primeiro é 2cdot3 - 2cdottfrack2 = 6 - k; o segundo é 4cdot(tfrack2 + 3) = 2k + 12; o terceiro é 5cdot(-6) = -30. Somando tudo:
det = (6 - k) + (2k + 12) - 30 = k - 12

Passo 5

Para que os pontos formem triângulo, precisamos de det neq 0. Então k - 12 neq 0.

Resposta

k \neq 12

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