Para as seguinte função diga qual é o dominio, a imagem e faça o gráfico.
f(x)= sin (x pi) ; & x in(-1,1) 2^x ; & x in[1,3) -x ; & x in(3,5)

Passo 1

Temos uma função definida por partes em três intervalos: f(x)=sin(xpi) para xin(-1,1), f(x)=2^x para xin[1,3) e f(x)=-x para xin(3,5). O conteúdo envolvido é análise de funções definidas por partes, determinação de domínio e imagem, e esboço de gráfico.

Passo 2

Vamos achar o domínio reunindo todos os valores de x em que cada parte está definida. Para sin(xpi) temos xin(-1,1), para 2^x temos xin[1,3) e para -x temos xin(3,5). Juntando, o domínio é
(-1,1);cup;[1,3);cup;(3,5)=(-1,5)setminus3

Passo 3

Agora a imagem:
  • Para sin(xpi), com xin(-1,1), o argumento xpi varia em (-pi,pi), e alcança máximo 1 em x=1/2 e mínimo -1 em x=-1/2. Logo imagem dessa parte é [-1,1].
  • Para 2^x, com xin[1,3), temos 2^1=2 até 2^3=8 (excluído), ou seja [2,8).
  • Para -x, com xin(3,5), a imagem vai de -3 até -5 (ambos excluídos), ou seja (-5,-3).
    A união dessas partes dá a imagem completa:
(-5,-3);cup;[-1,1];cup;[2,8)

Passo 4

Para esboçar o gráfico, proceda assim:
  • No intervalo -1,1), trace a curva y=sin(xpi) iniciando e terminando com círculos abertos em (-1,0) e (1,0), atingindo os pontos (!-1/2,-1) e (1/2,1).
  • Em [1,3), desenhe y=2^x começando com ponto preenchido em (1,2) e indo crescer suavemente até um círculo aberto em (3,8).
  • Em (3,5), trace a reta decrescente y=-x de um círculo aberto em (3,-3) até outro em (5,-5).

Resposta

Domínio: (-1,5)setminus3
Imagem: (-5,-3)cup[-1,1]cup[2,8)
Gráfico: gráfico por partes conforme descrito: curva sin(xpi) em (-1,1) com extremos em (-1,0), (1,0) abertos; exponencial 2^x em [1,3) iniciando em ponto fechado (1,2) e com círculo aberto em (3,8); reta y=-x em (3,5) de (3,-3) a (5,-5) com ambas as extremidades abertas.

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