Seja f: R R a função dada por f(x)=2 sen x+cos (2 x). Calcule os valores máximo e mínimo de f.
Máximo: square
Mínimo: square

Passo 1

Resumo do problema: temos a função f:RtoR dada por f(x)=2sin x+cos(2x). O tema é encontrar extremos globais de funções periódicas, usando identidade trigonométrica e análise de quadrática.

Passo 2

Aplicamos a identidade trigonométrica cos(2x)=1-2sin^2x. Assim, escrevemos
f(x)=2sin x+1-2sin^2x=1+2sin x-2sin^2x

Passo 3

Definimos u=sin x, com uin[-1,1]. Então f se torna a função quadrática g(u)=-2u^2+2u+1, que é côncava para baixo (pois o coeficiente de u^2 é -2<0). O vértice de g(u)=au^2+bu+c ocorre em uv=-b/(2a). Aqui a=-2 e b=2, logo uv=1/2.

Passo 4

Substituindo u=1/2 em g(u) obtemos o valor no vértice:
gl(tfrac12r)=-2l(tfrac12r)^2+2cdottfrac12+1=-tfrac12+1+1=tfrac32

Passo 5

Para completar a análise, avaliamos g(u) nas bordas do intervalo:
g(-1)=-2cdot(-1)^2+2cdot(-1)+1=-2-2+1=-3

Passo 6

g(1)=-2cdot1^2+2cdot1+1=-2+2+1=1

Resposta

Máximo: tfrac32; Mínimo: -3.

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